摘要：筆者寫的數據結構與算法之美系列用的語言是，旨在入門數據結構與算法和方便以后復習。這應該是目前較為簡單的十大經典排序算法的文章講解了吧。比如原本在的前面，而，排序之后，在的后面十大經典排序算法冒泡排序思想冒泡排序只會操作相鄰的兩個數據。

算法為王。
想學好前端，先練好內功，內功不行，就算招式練的再花哨，終究成不了高手；只有內功深厚者，前端之路才會走得更遠。

筆者寫的 JavaScript 數據結構與算法之美 系列用的語言是 JavaScript ，旨在入門數據結構與算法和方便以后復習。

文中包含了 十大經典排序算法 的思想、代碼實現、一些例子、復雜度分析、動畫、還有算法可視化工具。

這應該是目前較為簡單的 JavaScript 十大經典排序算法 的文章講解了吧。

復雜度分析是整個算法學習的精髓。

時間復雜度: 一個算法執行所耗費的時間。

空間復雜度: 運行完一個程序所需內存的大小。

時間和空間復雜度的詳解，請看 JavaScript 數據結構與算法之美 - 時間和空間復雜度。

學習排序算法，我們除了學習它的算法原理、代碼實現之外，更重要的是要學會如何評價、分析一個排序算法。

分析一個排序算法，要從 執行效率、內存消耗、穩定性 三方面入手。

1. 最好情況、最壞情況、平均情況時間復雜度

我們在分析排序算法的時間復雜度時，要分別給出最好情況、最壞情況、平均情況下的時間復雜度。
除此之外，你還要說出最好、最壞時間復雜度對應的要排序的原始數據是什么樣的。

2. 時間復雜度的系數、常數 、低階

我們知道，時間復雜度反應的是數據規模 n 很大的時候的一個增長趨勢，所以它表示的時候會忽略系數、常數、低階。

但是實際的軟件開發中，我們排序的可能是 10 個、100 個、1000 個這樣規模很小的數據，所以，在對同一階時間復雜度的排序算法性能對比的時候，我們就要把系數、常數、低階也考慮進來。

3. 比較次數和交換（或移動）次數

這一節和下一節講的都是基于比較的排序算法。基于比較的排序算法的執行過程，會涉及兩種操作，一種是元素比較大小，另一種是元素交換或移動。

所以，如果我們在分析排序算法的執行效率的時候，應該把比較次數和交換（或移動）次數也考慮進去。

也就是看空間復雜度。

還需要知道如下術語：

內排序：所有排序操作都在內存中完成；

外排序：由于數據太大，因此把數據放在磁盤中，而排序通過磁盤和內存的數據傳輸才能進行；

原地排序：原地排序算法，就是特指空間復雜度是 O(1) 的排序算法。

穩定：如果待排序的序列中存在值相等的元素，經過排序之后，相等元素之間原有的先后順序不變。

比如： a 原本在 b 前面，而 a = b，排序之后，a 仍然在 b 的前面；

不穩定：如果待排序的序列中存在值相等的元素，經過排序之后，相等元素之間原有的先后順序改變。

比如：a 原本在 b 的前面，而 a = b，排序之后， a 在 b 的后面；

思想

冒泡排序只會操作相鄰的兩個數據。

每次冒泡操作都會對相鄰的兩個元素進行比較，看是否滿足大小關系要求。如果不滿足就讓它倆互換。

一次冒泡會讓至少一個元素移動到它應該在的位置，重復 n 次，就完成了 n 個數據的排序工作。

特點

優點：排序算法的基礎，簡單實用易于理解。

缺點：比較次數多，效率較低。

實現

// 冒泡排序（未優化）
const bubbleSort = arr => {
    console.time("改進前冒泡排序耗時");
    const length = arr.length;
    if (length <= 1) return;
    // i < length - 1 是因為外層只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比較是多余的。
    for (let i = 0; i < length - 1; i++) {
        // j < length - i - 1 是因為內層的 length-i-1 到 length-1 的位置已經排好了，不需要再比較一次。
        for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
    console.log("改進前 arr :", arr);
    console.timeEnd("改進前冒泡排序耗時");
};

優化：當某次冒泡操作已經沒有數據交換時，說明已經達到完全有序，不用再繼續執行后續的冒泡操作。

// 冒泡排序（已優化）
const bubbleSort2 = arr => {
    console.time("改進后冒泡排序耗時");
    const length = arr.length;
    if (length <= 1) return;
    // i < length - 1 是因為外層只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比較是多余的。
    for (let i = 0; i < length - 1; i++) {
        let hasChange = false; // 提前退出冒泡循環的標志位
        // j < length - i - 1 是因為內層的 length-i-1 到 length-1 的位置已經排好了，不需要再比較一次。
        for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
                hasChange = true; // 表示有數據交換
            }
        }

        if (!hasChange) break; // 如果 false 說明所有元素已經到位，沒有數據交換，提前退出
    }
    console.log("改進后 arr :", arr);
    console.timeEnd("改進后冒泡排序耗時");
};

測試

// 測試
const arr = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort(arr);
// 改進前 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改進前冒泡排序耗時: 0.43798828125ms

const arr2 = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort2(arr2);
// 改進后 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改進后冒泡排序耗時: 0.318115234375ms

分析

第一，冒泡排序是原地排序算法嗎 ？

冒泡的過程只涉及相鄰數據的交換操作，只需要常量級的臨時空間，所以它的空間復雜度為 O(1)，是一個原地排序算法。

第二，冒泡排序是穩定的排序算法嗎 ？

在冒泡排序中，只有交換才可以改變兩個元素的前后順序。
為了保證冒泡排序算法的穩定性，當有相鄰的兩個元素大小相等的時候，我們不做交換，相同大小的數據在排序前后不會改變順序。
所以冒泡排序是穩定的排序算法。

第三，冒泡排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n)，當數據已經是正序時。
最差情況：T(n) = O(n²)，當數據是反序時。
平均情況：T(n) = O(n²)。

動畫

插入排序又為分為 直接插入排序 和優化后的 拆半插入排序 與 希爾排序，我們通常說的插入排序是指直接插入排序。

一、直接插入

思想

一般人打撲克牌，整理牌的時候，都是按牌的大小（從小到大或者從大到小）整理牌的，那每摸一張新牌，就掃描自己的牌，把新牌插入到相應的位置。

插入排序的工作原理：通過構建有序序列，對于未排序數據，在已排序序列中從后向前掃描，找到相應位置并插入。

步驟

從第一個元素開始，該元素可以認為已經被排序；

取出下一個元素，在已經排序的元素序列中從后向前掃描；

如果該元素（已排序）大于新元素，將該元素移到下一位置；

重復步驟 3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；

將新元素插入到該位置后；

重復步驟 2 ~ 5。

實現

// 插入排序
const insertionSort = array => {
    const len = array.length;
    if (len <= 1) return

    let preIndex, current;
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        preIndex = i - 1; //待比較元素的下標
        current = array[i]; //當前元素
        while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > current) {
            //前置條件之一: 待比較元素比當前元素大
            array[preIndex + 1] = array[preIndex]; //將待比較元素后移一位
            preIndex--; //游標前移一位
        }
        if (preIndex + 1 != i) {
            //避免同一個元素賦值給自身
            array[preIndex + 1] = current; //將當前元素插入預留空位
            console.log("array :", array);
        }
    }
    return array;
};

測試

// 測試
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始 array :", array);
insertionSort(array);
// 原始 array:   ?[5, 4, 3, 2, 1]
// array: ?         [4, 5, 3, 2, 1]
// array: ?         [3, 4, 5, 2, 1]
// array:         ?[2, 3, 4, 5, 1]
// array: ?         [1, 2, 3, 4, 5]

分析

第一，插入排序是原地排序算法嗎 ？

插入排序算法的運行并不需要額外的存儲空間，所以空間復雜度是 O(1)，所以，這是一個原地排序算法。

第二，插入排序是穩定的排序算法嗎 ？

在插入排序中，對于值相同的元素，我們可以選擇將后面出現的元素，插入到前面出現元素的后面，這樣就可以保持原有的前后順序不變，所以插入排序是穩定的排序算法。

第三，插入排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n)，當數據已經是正序時。
最差情況：T(n) = O(n²)，當數據是反序時。
平均情況：T(n) = O(n²)。

動畫

二、拆半插入

插入排序也有一種優化算法，叫做拆半插入。

思想

折半插入排序是直接插入排序的升級版，鑒于插入排序第一部分為已排好序的數組，我們不必按順序依次尋找插入點，只需比較它們的中間值與待插入元素的大小即可。

步驟

取 0 ~ i-1 的中間點 ( m = (i-1) >> 1 )，array[i] 與 array[m] 進行比較，若 array[i] < array[m]，則說明待插入的元素 array[i] 應該處于數組的 0 ~ m 索引之間；反之，則說明它應該處于數組的 m ~ i-1 索引之間。

重復步驟 1，每次縮小一半的查找范圍，直至找到插入的位置。

將數組中插入位置之后的元素全部后移一位。

在指定位置插入第 i 個元素。

注：x >> 1 是位運算中的右移運算，表示右移一位，等同于 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 == Math.floor(x/2) 。

// 折半插入排序
const binaryInsertionSort = array => {
    const len = array.length;
    if (len <= 1) return;

    let current, i, j, low, high, m;
    for (i = 1; i < len; i++) {
        low = 0;
        high = i - 1;
        current = array[i];

        while (low <= high) {
            //步驟 1 & 2 : 折半查找
            m = (low + high) >> 1; // 注: x>>1 是位運算中的右移運算, 表示右移一位, 等同于 x 除以 2 再取整, 即 x>>1 == Math.floor(x/2) .
            if (array[i] >= array[m]) {
                //值相同時, 切換到高半區，保證穩定性
                low = m + 1; //插入點在高半區
            } else {
                high = m - 1; //插入點在低半區
            }
        }
        for (j = i; j > low; j--) {
            //步驟 3: 插入位置之后的元素全部后移一位
            array[j] = array[j - 1];
            console.log("array2 :", JSON.parse(JSON.stringify(array)));
        }
        array[low] = current; //步驟 4: 插入該元素
    }
    console.log("array2 :", JSON.parse(JSON.stringify(array)));
    return array;
};

測試

const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始 array2:", array2);
binaryInsertionSort(array2);
// 原始 array2:  [5, 4, 3, 2, 1]
// array2 : ??  [5, 5, 3, 2, 1]
// array2 : ??  [4, 5, 5, 2, 1]
// array2 : ??  [4, 4, 5, 2, 1]
// array2 : ??  [3, 4, 5, 5, 1]
// array2 : ??  [3, 4, 4, 5, 1]
// array2 : ??  [3, 3, 4, 5, 1]
// array2 : ??  [2, 3, 4, 5, 5]
// array2 : ??  [2, 3, 4, 4, 5]
// array2 : ??  [2, 3, 3, 4, 5]
// array2 : ??  [2, 2, 3, 4, 5]
// array2 : ??  [1, 2, 3, 4, 5]

注意：和直接插入排序類似，折半插入排序每次交換的是相鄰的且值為不同的元素，它并不會改變值相同的元素之間的順序，因此它是穩定的。

三、希爾排序

希爾排序是一個平均時間復雜度為 O(n log n) 的算法，會在下一個章節和 歸并排序、快速排序、堆排序 一起講，本文就不展開了。

思路

選擇排序算法的實現思路有點類似插入排序，也分已排序區間和未排序區間。但是選擇排序每次會從未排序區間中找到最小的元素，將其放到已排序區間的末尾。

步驟

首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。

再從剩余未排序元素中繼續尋找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。

重復第二步，直到所有元素均排序完畢。

實現

const selectionSort = array => {
    const len = array.length;
    let minIndex, temp;
    for (let i = 0; i < len - 1; i++) {
        minIndex = i;
        for (let j = i + 1; j < len; j++) {
            if (array[j] < array[minIndex]) {
                // 尋找最小的數
                minIndex = j; // 將最小數的索引保存
            }
        }
        temp = array[i];
        array[i] = array[minIndex];
        array[minIndex] = temp;
        console.log("array: ", array);
    }
    return array;
};

測試

// 測試
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始array:", array);
selectionSort(array);
// 原始 array: ?[5, 4, 3, 2, 1]
// array: ?         [1, 4, 3, 2, 5]
// array: ?         [1, 2, 3, 4, 5]
// array:         ?[1, 2, 3, 4, 5]
// array: ?         [1, 2, 3, 4, 5]

分析

第一，選擇排序是原地排序算法嗎 ？

選擇排序空間復雜度為 O(1)，是一種原地排序算法。

第二，選擇排序是穩定的排序算法嗎 ？

選擇排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交換位置，這樣破壞了穩定性。所以，選擇排序是一種不穩定的排序算法。

第三，選擇排序的時間復雜度是多少 ？

無論是正序還是逆序，選擇排序都會遍歷 n² / 2 次來排序，所以，最佳、最差和平均的復雜度是一樣的。
最佳情況：T(n) = O(n²)。
最差情況：T(n) = O(n²)。
平均情況：T(n) = O(n²)。

動畫

思想

排序一個數組，我們先把數組從中間分成前后兩部分，然后對前后兩部分分別排序，再將排好序的兩部分合并在一起，這樣整個數組就都有序了。

歸并排序采用的是分治思想。

分治，顧名思義，就是分而治之，將一個大問題分解成小的子問題來解決。小的子問題解決了，大問題也就解決了。

注：x >> 1 是位運算中的右移運算，表示右移一位，等同于 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 === Math.floor(x / 2) 。

實現

const mergeSort = arr => {
    //采用自上而下的遞歸方法
    const len = arr.length;
    if (len < 2) {
        return arr;
    }
    // length >> 1 和 Math.floor(len / 2) 等價
    let middle = Math.floor(len / 2),
        left = arr.slice(0, middle),
        right = arr.slice(middle); // 拆分為兩個子數組
    return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));
};

const merge = (left, right) => {
    const result = [];

    while (left.length && right.length) {
        // 注意: 判斷的條件是小于或等于，如果只是小于，那么排序將不穩定.
        if (left[0] <= right[0]) {
            result.push(left.shift());
        } else {
            result.push(right.shift());
        }
    }

    while (left.length) result.push(left.shift());

    while (right.length) result.push(right.shift());

    return result;
};

測試

// 測試
const arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.time("歸并排序耗時");
console.log("arr :", mergeSort(arr));
console.timeEnd("歸并排序耗時");
// arr : [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
// 歸并排序耗時: 0.739990234375ms

分析

第一，歸并排序是原地排序算法嗎 ？

這是因為歸并排序的合并函數，在合并兩個有序數組為一個有序數組時，需要借助額外的存儲空間。
實際上，盡管每次合并操作都需要申請額外的內存空間，但在合并完成之后，臨時開辟的內存空間就被釋放掉了。在任意時刻，CPU 只會有一個函數在執行，也就只會有一個臨時的內存空間在使用。臨時內存空間最大也不會超過 n 個數據的大小，所以空間復雜度是 O(n)。
所以，歸并排序不是原地排序算法。

第二，歸并排序是穩定的排序算法嗎 ？

merge 方法里面的 left[0] <= right[0] ，保證了值相同的元素，在合并前后的先后順序不變。歸并排序是穩定的排序方法。

第三，歸并排序的時間復雜度是多少 ？

從效率上看，歸并排序可算是排序算法中的佼佼者。假設數組長度為 n，那么拆分數組共需 logn 步，又每步都是一個普通的合并子數組的過程，時間復雜度為 O(n)，故其綜合時間復雜度為 O(n log n)。
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n log n)。
平均情況：T(n) = O(n log n)。

動畫

快速排序的特點就是快，而且效率高！它是處理大數據最快的排序算法之一。

思想

先找到一個基準點（一般指數組的中部），然后數組被該基準點分為兩部分，依次與該基準點數據比較，如果比它小，放左邊；反之，放右邊。

左右分別用一個空數組去存儲比較后的數據。

最后遞歸執行上述操作，直到數組長度 <= 1;

特點：快速，常用。

缺點：需要另外聲明兩個數組，浪費了內存空間資源。

實現

方法一：

const quickSort1 = arr => {
    if (arr.length <= 1) {
        return arr;
    }
    //取基準點
    const midIndex = Math.floor(arr.length / 2);
    //取基準點的值，splice(index,1) 則返回的是含有被刪除的元素的數組。
    const valArr = arr.splice(midIndex, 1);
    const midIndexVal = valArr[0];
    const left = []; //存放比基準點小的數組
    const right = []; //存放比基準點大的數組
    //遍歷數組，進行判斷分配
    for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] < midIndexVal) {
            left.push(arr[i]); //比基準點小的放在左邊數組
        } else {
            right.push(arr[i]); //比基準點大的放在右邊數組
        }
    }
    //遞歸執行以上操作，對左右兩個數組進行操作，直到數組長度為 <= 1
    return quickSort1(left).concat(midIndexVal, quickSort1(right));
};
const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("quickSort1 ", quickSort1(array2));
// quickSort1: [1, 2, 3, 4, 5]

方法二：

// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
    let len = arr.length,
        partitionIndex;
    left = typeof left != "number" ? 0 : left;
    right = typeof right != "number" ? len - 1 : right;

    if (left < right) {
        partitionIndex = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
        quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
    }
    return arr;
};

const partition = (arr, left, right) => {
    //分區操作
    let pivot = left, //設定基準值（pivot）
        index = pivot + 1;
    for (let i = index; i <= right; i++) {
        if (arr[i] < arr[pivot]) {
            swap(arr, i, index);
            index++;
        }
    }
    swap(arr, pivot, index - 1);
    return index - 1;
};

const swap = (arr, i, j) => {
    let temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
};

測試

// 測試
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始array:", array);
const newArr = quickSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ?[5, 4, 3, 2, 1]
// newArr: ?   [1, 4, 3, 2, 5]

分析

第一，快速排序是原地排序算法嗎 ？

因為 partition() 函數進行分區時，不需要很多額外的內存空間，所以快排是原地排序算法。

第二，快速排序是穩定的排序算法嗎 ？

和選擇排序相似，快速排序每次交換的元素都有可能不是相鄰的，因此它有可能打破原來值為相同的元素之間的順序。因此，快速排序并不穩定。

第三，快速排序的時間復雜度是多少 ？

極端的例子：如果數組中的數據原來已經是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我們每次選擇最后一個元素作為 pivot，那每次分區得到的兩個區間都是不均等的。我們需要進行大約 n 次分區操作，才能完成快排的整個過程。每次分區我們平均要掃描大約 n / 2 個元素，這種情況下，快排的時間復雜度就從 O(nlogn) 退化成了 O(n²)。
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n²)。
平均情況：T(n) = O(n log n)。

動畫

解答開篇問題

快排和歸并用的都是分治思想，遞推公式和遞歸代碼也非常相似，那它們的區別在哪里呢 ？

可以發現：

歸并排序的處理過程是由下而上的，先處理子問題，然后再合并。

而快排正好相反，它的處理過程是由上而下的，先分區，然后再處理子問題。

歸并排序雖然是穩定的、時間復雜度為 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。

歸并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函數無法在原地執行。

快速排序通過設計巧妙的原地分區函數，可以實現原地排序，解決了歸并排序占用太多內存的問題。

思想

先將整個待排序的記錄序列分割成為若干子序列。

分別進行直接插入排序。

待整個序列中的記錄基本有序時，再對全體記錄進行依次直接插入排序。

過程

1.舉個易于理解的例子：[35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]，我們采取間隔 4。創建一個位于 4 個位置間隔的所有值的虛擬子列表。下面這些值是 { 35, 14 }，{ 33, 19 }，{ 42, 27 } 和 { 10, 44 }。

2.我們比較每個子列表中的值，并在原始數組中交換它們（如果需要）。完成此步驟后，新數組應如下所示。

3.然后，我們采用 2 的間隔，這個間隙產生兩個子列表：{ 14, 27, 35, 42 }， { 19, 10, 33, 44 }。

4.我們比較并交換原始數組中的值（如果需要）。完成此步驟后，數組變成：[14, 10, 27, 19, 35, 33, 42, 44]，圖如下所示，10 與 19 的位置互換一下。

5.最后，我們使用值間隔 1 對數組的其余部分進行排序，Shell sort 使用插入排序對數組進行排序。

實現

const shellSort = arr => {
    let len = arr.length,
        temp,
        gap = 1;
    console.time("希爾排序耗時");
    while (gap < len / 3) {
        //動態定義間隔序列
        gap = gap * 3 + 1;
    }
    for (gap; gap > 0; gap = Math.floor(gap / 3)) {
        for (let i = gap; i < len; i++) {
            temp = arr[i];
            let j = i - gap;
            for (; j >= 0 && arr[j] > temp; j -= gap) {
                arr[j + gap] = arr[j];
            }
            arr[j + gap] = temp;
            console.log("arr  :", arr);
        }
    }
    console.timeEnd("希爾排序耗時");
    return arr;
};

測試

// 測試
const array = [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44];
console.log("原始array:", array);
const newArr = shellSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ??[35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]
// arr      : ??[14, 33, 42, 10, 35, 19, 27, 44]
// arr      : ??[14, 19, 42, 10, 35, 33, 27, 44]
// arr      : ??[14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      : ??[14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      : ??[14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      : ??[14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      : ??[10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]
// arr      : ??[10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]
// arr      : ??[10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// arr      : ??[10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// arr      : ??[10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// 希爾排序耗時: 3.592041015625ms
// newArr: ?   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]

分析

第一，希爾排序是原地排序算法嗎 ？

希爾排序過程中，只涉及相鄰數據的交換操作，只需要常量級的臨時空間，空間復雜度為 O(1) 。所以，希爾排序是原地排序算法。

第二，希爾排序是穩定的排序算法嗎 ？

我們知道，單次直接插入排序是穩定的，它不會改變相同元素之間的相對順序，但在多次不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，可能導致相同元素相對順序發生變化。
因此，希爾排序不穩定。

第三，希爾排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n log² n)。
平均情況：T(n) = O(n log² n)。

動畫

堆的定義

堆其實是一種特殊的樹。只要滿足這兩點，它就是一個堆。

堆是一個完全二叉樹。

完全二叉樹：除了最后一層，其他層的節點個數都是滿的，最后一層的節點都靠左排列。

堆中每一個節點的值都必須大于等于（或小于等于）其子樹中每個節點的值。

也可以說：堆中每個節點的值都大于等于（或者小于等于）其左右子節點的值。這兩種表述是等價的。

對于每個節點的值都大于等于子樹中每個節點值的堆，我們叫作大頂堆。
對于每個節點的值都小于等于子樹中每個節點值的堆，我們叫作小頂堆。

其中圖 1 和 圖 2 是大頂堆，圖 3 是小頂堆，圖 4 不是堆。除此之外，從圖中還可以看出來，對于同一組數據，我們可以構建多種不同形態的堆。

思想

將初始待排序關鍵字序列 (R1, R2 .... Rn) 構建成大頂堆，此堆為初始的無序區；

將堆頂元素 R[1] 與最后一個元素 R[n] 交換，此時得到新的無序區 (R1, R2, ..... Rn-1) 和新的有序區 (Rn) ，且滿足 R[1, 2 ... n-1] <= R[n]。

由于交換后新的堆頂 R[1] 可能違反堆的性質，因此需要對當前無序區 (R1, R2 ...... Rn-1) 調整為新堆，然后再次將 R[1] 與無序區最后一個元素交換，得到新的無序區 (R1, R2 .... Rn-2) 和新的有序區 (Rn-1, Rn)。不斷重復此過程，直到有序區的元素個數為 n - 1，則整個排序過程完成。

實現

// 堆排序
const heapSort = array => {
    console.time("堆排序耗時");
    // 初始化大頂堆，從第一個非葉子結點開始
    for (let i = Math.floor(array.length / 2 - 1); i >= 0; i--) {
        heapify(array, i, array.length);
    }
    // 排序，每一次 for 循環找出一個當前最大值，數組長度減一
    for (let i = Math.floor(array.length - 1); i > 0; i--) {
        // 根節點與最后一個節點交換
        swap(array, 0, i);
        // 從根節點開始調整，并且最后一個結點已經為當前最大值，不需要再參與比較，所以第三個參數為 i，即比較到最后一個結點前一個即可
        heapify(array, 0, i);
    }
    console.timeEnd("堆排序耗時");
    return array;
};

// 交換兩個節點
const swap = (array, i, j) => {
    let temp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = temp;
};

// 將 i 結點以下的堆整理為大頂堆，注意這一步實現的基礎實際上是：
// 假設結點 i 以下的子堆已經是一個大頂堆，heapify 函數實現的
// 功能是實際上是：找到 結點 i 在包括結點 i 的堆中的正確位置。
// 后面將寫一個 for 循環，從第一個非葉子結點開始，對每一個非葉子結點
// 都執行 heapify 操作，所以就滿足了結點 i 以下的子堆已經是一大頂堆
const heapify = (array, i, length) => {
    let temp = array[i]; // 當前父節點
    // j < length 的目的是對結點 i 以下的結點全部做順序調整
    for (let j = 2 * i + 1; j < length; j = 2 * j + 1) {
        temp = array[i]; // 將 array[i] 取出，整個過程相當于找到 array[i] 應處于的位置
        if (j + 1 < length && array[j] < array[j + 1]) {
            j++; // 找到兩個孩子中較大的一個，再與父節點比較
        }
        if (temp < array[j]) {
            swap(array, i, j); // 如果父節點小于子節點:交換；否則跳出
            i = j; // 交換后，temp 的下標變為 j
        } else {
            break;
        }
    }
};

測試

const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log("原始array:", array);
const newArr = heapSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ?[4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗時: 0.15087890625ms
// newArr: ?   [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]

分析

第一，堆排序是原地排序算法嗎 ？

整個堆排序的過程，都只需要極個別臨時存儲空間，所以堆排序是原地排序算法。

第二，堆排序是穩定的排序算法嗎 ？

因為在排序的過程，存在將堆的最后一個節點跟堆頂節點互換的操作，所以就有可能改變值相同數據的原始相對順序。
所以，堆排序是不穩定的排序算法。

第三，堆排序的時間復雜度是多少 ？

堆排序包括建堆和排序兩個操作，建堆過程的時間復雜度是 O(n)，排序過程的時間復雜度是 O(nlogn)，所以，堆排序整體的時間復雜度是 O(nlogn)。
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n log n)。
平均情況：T(n) = O(n log n)。

動畫

桶排序是計數排序的升級版，也采用了分治思想。

思想

將要排序的數據分到有限數量的幾個有序的桶里。

每個桶里的數據再多帶帶進行排序（一般用插入排序或者快速排序）。

桶內排完序之后，再把每個桶里的數據按照順序依次取出，組成的序列就是有序的了。

比如：

桶排序利用了函數的映射關系，高效與否的關鍵就在于這個映射函數的確定。

為了使桶排序更加高效，我們需要做到這兩點：

在額外空間充足的情況下，盡量增大桶的數量。

使用的映射函數能夠將輸入的 N 個數據均勻的分配到 K 個桶中。

桶排序的核心：就在于怎么把元素平均分配到每個桶里，合理的分配將大大提高排序的效率。

實現

// 桶排序
const bucketSort = (array, bucketSize) => {
  if (array.length === 0) {
    return array;
  }

  console.time("桶排序耗時");
  let i = 0;
  let minValue = array[0];
  let maxValue = array[0];
  for (i = 1; i < array.length; i++) {
    if (array[i] < minValue) {
      minValue = array[i]; //輸入數據的最小值
    } else if (array[i] > maxValue) {
      maxValue = array[i]; //輸入數據的最大值
    }
  }

  //桶的初始化
  const DEFAULT_BUCKET_SIZE = 5; //設置桶的默認數量為 5
  bucketSize = bucketSize || DEFAULT_BUCKET_SIZE;
  const bucketCount = Math.floor((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1;
  const buckets = new Array(bucketCount);
  for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
    buckets[i] = [];
  }

  //利用映射函數將數據分配到各個桶中
  for (i = 0; i < array.length; i++) {
    buckets[Math.floor((array[i] - minValue) / bucketSize)].push(array[i]);
  }

  array.length = 0;
  for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
    quickSort(buckets[i]); //對每個桶進行排序，這里使用了快速排序
    for (var j = 0; j < buckets[i].length; j++) {
      array.push(buckets[i][j]);
    }
  }
  console.timeEnd("桶排序耗時");

  return array;
};

// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
    let len = arr.length,
        partitionIndex;
    left = typeof left != "number" ? 0 : left;
    right = typeof right != "number" ? len - 1 : right;

    if (left < right) {
        partitionIndex = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
        quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
    }
    return arr;
};

const partition = (arr, left, right) => {
    //分區操作
    let pivot = left, //設定基準值（pivot）
        index = pivot + 1;
    for (let i = index; i <= right; i++) {
        if (arr[i] < arr[pivot]) {
            swap(arr, i, index);
            index++;
        }
    }
    swap(arr, pivot, index - 1);
    return index - 1;
};

const swap = (arr, i, j) => {
    let temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
};

測試

const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log("原始array:", array);
const newArr = bucketSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ?[4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗時:   0.133056640625ms
// newArr: ?     [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]

分析

第一，桶排序是原地排序算法嗎 ？

因為桶排序的空間復雜度，也即內存消耗為 O(n)，所以不是原地排序算法。

第二，桶排序是穩定的排序算法嗎 ？

取決于每個桶的排序方式，比如：快排就不穩定，歸并就穩定。

第三，桶排序的時間復雜度是多少 ？

因為桶內部的排序可以有多種方法，是會對桶排序的時間復雜度產生很重大的影響。所以，桶排序的時間復雜度可以是多種情況的。
總的來說
最佳情況：當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。
最差情況：當輸入的數據被分配到了同一個桶中。
以下是桶的內部排序為快速排序的情況：
如果要排序的數據有 n 個，我們把它們均勻地劃分到 m 個桶內，每個桶里就有 k =n / m 個元素。每個桶內部使用快速排序，時間復雜度為 O(k * logk)。
m 個桶排序的時間復雜度就是 O(m k logk)，因為 k = n / m，所以整個桶排序的時間復雜度就是 O(n*log(n/m))。
當桶的個數 m 接近數據個數 n 時，log(n/m) 就是一個非常小的常量，這個時候桶排序的時間復雜度接近 O(n)。
最佳情況：T(n) = O(n)。當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。
最差情況：T(n) = O(nlogn)。當輸入的數據被分配到了同一個桶中。
平均情況：T(n) = O(n)。

桶排序最好情況下使用線性時間 O(n)，桶排序的時間復雜度，取決與對各個桶之間數據進行排序的時間復雜度，因為其它部分的時間復雜度都為 O(n)。
很顯然，桶劃分的越小，各個桶之間的數據越少，排序所用的時間也會越少。但相應的空間消耗就會增大。

適用場景

桶排序比較適合用在外部排序中。

外部排序就是數據存儲在外部磁盤且數據量大，但內存有限，無法將整個數據全部加載到內存中。

動畫

思想

找出待排序的數組中最大和最小的元素。

統計數組中每個值為 i 的元素出現的次數，存入新數組 countArr 的第 i 項。

對所有的計數累加（從 countArr 中的第一個元素開始，每一項和前一項相加）。

反向填充目標數組：將每個元素 i 放在新數組的第 countArr[i] 項，每放一個元素就將 countArr[i] 減去 1 。

關鍵在于理解最后反向填充時的操作。

使用條件

只能用在數據范圍不大的場景中，若數據范圍 k 比要排序的數據 n 大很多，就不適合用計數排序。

計數排序只能給非負整數排序，其他類型需要在不改變相對大小情況下，轉換為非負整數。

比如如果考試成績精確到小數后一位，就需要將所有分數乘以 10，轉換為整數。

實現

方法一：

const countingSort = array => {
    let len = array.length,
        result = [],
        countArr = [],
        min = (max = array[0]);
    console.time("計數排序耗時");
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        // 獲取最小，最大 值
        min = min <= array[i] ? min : array[i];
        max = max >= array[i] ? max : array[i];
        countArr[array[i]] = countArr[array[i]] ? countArr[array[i]] + 1 : 1;
    }
    console.log("countArr :", countArr);
    // 從最小值 -> 最大值,將計數逐項相加
    for (let j = min; j < max; j++) {
        countArr[j + 1] = (countArr[j + 1] || 0) + (countArr[j] || 0);
    }
    console.log("countArr 2:", countArr);
    // countArr 中,下標為 array 數值，數據為 array 數值出現次數；反向填充數據進入 result 數據
    for (let k = len - 1; k >= 0; k--) {
        // result[位置] = array 數據
        result[countArr[array[k]] - 1] = array[k];
        // 減少 countArr 數組中保存的計數
        countArr[array[k]]--;
        // console.log("array[k]:", array[k], "countArr[array[k]] :", countArr[array[k]],)
        console.log("result:", result);
    }
    console.timeEnd("計數排序耗時");
    return result;
};

測試

const array = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log("原始 array: ", array);
const newArr = countingSort(array);
console.log("newArr: ", newArr);
// 原始 array: ?[2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 計數排序耗時:   5.6708984375ms
// newArr: ?     [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]

方法二：

const countingSort2 = (arr, maxValue) => {
    console.time("計數排序耗時");
    maxValue = maxValue || arr.length;
    let bucket = new Array(maxValue + 1),
        sortedIndex = 0;
    (arrLen = arr.length), (bucketLen = maxValue + 1);

    for (let i = 0; i < arrLen; i++) {
        if (!bucket[arr[i]]) {
            bucket[arr[i]] = 0;
        }
        bucket[arr[i]]++;
    }

    for (let j = 0; j < bucketLen; j++) {
        while (bucket[j] > 0) {
            arr[sortedIndex++] = j;
            bucket[j]--;
        }
    }
    console.timeEnd("計數排序耗時");
    return arr;
};

測試

const array2 = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log("原始 array2: ", array2);
const newArr2 = countingSort2(array2, 21);
console.log("newArr2: ", newArr2);
// 原始 array: ?[2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 計數排序耗時:   0.043212890625ms
// newArr: ?     [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]

例子

可以認為，計數排序其實是桶排序的一種特殊情況。

當要排序的 n 個數據，所處的范圍并不大的時候，比如最大值是 k，我們就可以把數據劃分成 k 個桶。每個桶內的數據值都是相同的，省掉了桶內排序的時間。

我們都經歷過高考，高考查分數系統你還記得嗎？我們查分數的時候，系統會顯示我們的成績以及所在省的排名。如果你所在的省有 50 萬考生，如何通過成績快速排序得出名次呢？

考生的滿分是 900 分，最小是 0 分，這個數據的范圍很小，所以我們可以分成 901 個桶，對應分數從 0 分到 900 分。

根據考生的成績，我們將這 50 萬考生劃分到這 901 個桶里。桶內的數據都是分數相同的考生，所以并不需要再進行排序。

我們只需要依次掃描每個桶，將桶內的考生依次輸出到一個數組中，就實現了 50 萬考生的排序。

因為只涉及掃描遍歷操作，所以時間復雜度是 O(n)。

分析

第一，計數排序是原地排序算法嗎 ？

因為計數排序的空間復雜度為 O(k)，k 桶的個數，所以不是原地排序算法。

第二，計數排序是穩定的排序算法嗎 ？

計數排序不改變相同元素之間原本相對的順序，因此它是穩定的排序算法。

第三，計數排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n + k)
最差情況：T(n) = O(n + k)
平均情況：T(n) = O(n + k)
k 是待排序列最大值。

動畫

思想

基數排序是一種非比較型整數排序算法，其原理是將整數按位數切割成不同的數字，然后按每個位數分別比較。

例子

假設我們有 10 萬個手機號碼，希望將這 10 萬個手機號碼從小到大排序，你有什么比較快速的排序方法呢 ？

這個問題里有這樣的規律：假設要比較兩個手機號碼 a，b 的大小，如果在前面幾位中，a 手機號碼已經比 b 手機號碼大了，那后面的幾位就不用看了。所以是基于位來比較的。

桶排序、計數排序能派上用場嗎 ？手機號碼有 11 位，范圍太大，顯然不適合用這兩種排序算法。針對這個排序問題，有沒有時間復雜度是 O(n) 的算法呢 ？ 有，就是基數排序。

使用條件

要求數據可以分割獨立的位來比較；

位之間由遞進關系，如果 a 數據的高位比 b 數據大，那么剩下的地位就不用比較了；

每一位的數據范圍不能太大，要可以用線性排序，否則基數排序的時間復雜度無法做到 O(n)。

方案

按照優先從高位或低位來排序有兩種實現方案:

MSD：由高位為基底，先按 k1 排序分組，同一組中記錄, 關鍵碼 k1 相等，再對各組按 k2 排序分成子組, 之后，對后面的關鍵碼繼續這樣的排序分組，直到按最次位關鍵碼 kd 對各子組排序后，再將各組連接起來，便得到一個有序序列。MSD 方式適用于位數多的序列。

LSD：由低位為基底，先從 kd 開始排序，再對 kd - 1 進行排序，依次重復，直到對 k1 排序后便得到一個有序序列。LSD 方式適用于位數少的序列。

實現

/**
    * name: 基數排序
    * @param  array 待排序數組
    * @param  max 最大位數
    */
const radixSort = (array, max) => {
    console.time("計數排序耗時");
    const buckets = [];
    let unit = 10,
        base = 1;
    for (let i = 0; i < max; i++, base *= 10, unit *= 10) {
        for (let j = 0; j < array.length; j++) {
            let index = ~~((array[j] % unit) / base); //依次過濾出個位，十位等等數字
            if (buckets[index] == null) {
                buckets[index] = []; //初始化桶
            }
            buckets[index].push(array[j]); //往不同桶里添加數據
        }
        let pos = 0,
            value;
        for (let j = 0, length = buckets.length; j < length; j++) {
            if (buckets[j] != null) {
                while ((value = buckets[j].shift()) != null) {
                    array[pos++] = value; //將不同桶里數據挨個撈出來，為下一輪高位排序做準備，由于靠近桶底的元素排名靠前，因此從桶底先撈
                }
            }
        }
    }
    console.timeEnd("計數排序耗時");
    return array;
};

測試

const array = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.log("原始array:", array);
const newArr = radixSort(array, 2);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ?[3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
// 堆排序耗時:   0.064208984375ms
// newArr: ?     [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

分析

第一，基數排序是原地排序算法嗎 ？

因為計數排序的空間復雜度為 O(n + k)，所以不是原地排序算法。

第二，基數排序是穩定的排序算法嗎 ？

基數排序不改變相同元素之間的相對順序，因此它是穩定的排序算法。

第三，基數排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n * k)
最差情況：T(n) = O(n * k)
平均情況：T(n) = O(n * k)
其中，k 是待排序列最大值。

動畫

LSD 基數排序動圖演示：

十大經典排序算法的 時間復雜度與空間復雜度 比較。

名詞解釋：

n：數據規模；

k：桶的個數；

In-place: 占用常數內存，不占用額外內存；

Out-place: 占用額外內存。

算法可視化工具 algorithm-visualizer
算法可視化工具 algorithm-visualizer 是一個交互式的在線平臺，可以從代碼中可視化算法，還可以看到代碼執行的過程。旨在通過交互式可視化的執行來揭示算法背后的機制。

效果如下圖：

算法可視化動畫網站 https://visualgo.net/en

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算法可視化動畫網站 www.ee.ryerson.ca

效果如下圖：

illustrated-algorithms

變量和操作的可視化表示增強了控制流和實際源代碼。您可以快速前進和后退執行，以密切觀察算法的工作方式。
效果如下圖：

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如果有錯誤或者不嚴謹的地方，請務必給予指正，以免誤人子弟，十分感謝。

文中所有的代碼及測試事例都已經放到我的 GitHub 上了。

筆者為了寫好這系列的文章，花費了大量的業余時間，邊學邊寫，邊寫邊修改，前后歷時差不多 2 個月，入門級的文章總算是寫完了。

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