摘要：實現參考鏈接計算各類距離關于機器學習距離的理解機器學習中的相似性度量如何通俗易懂地理解皮爾遜相關系數數學應用

歐氏距離（也稱歐幾里得度量）指在m維空間中兩個點之間的真實距離，或者向量的自然長度（即該點到原點的距離）

$$dist(A,B)=sqrt{sum_{i=1}^n(A_i-B_i)^2}$$

在數據完整(無維度數據缺失)的情況下, 維度間的衡量單位是一致的, 否則需要標準化處理

import numpy as np


vec1 = np.array([1, 3, 4])
vec2 = np.array([4, 2, 4])

d = np.linalg.norm(vec1-vec2, ord=2)
# 或者
d = np.sqrt(np.sum(np.square(vec1-vec2)))

在歐幾里得空間的固定直角坐標系上兩點所形成的線段對軸產生的投影的距離總和

$$dist(A,B)=sum_{i=1}^n|A_i-B_i|$$

在數據完整(無維度數據缺失)的情況下, 需要將空間劃分成網格, 然后以網格為單位來進行度量, 允許4個方向

import numpy as np

vec1 = np.array([1, 3, 4])
vec2 = np.array([4, 2, 4])
 
d = np.linalg.norm(vec1-vec2, ord=1)
# 或者
d = np.sum(np.abs(vec1-vec2))

切比雪夫距離(Chebyshev distance)是向量空間中的一種度量，二個點之間的距離定義為其各座標數值差的最大值

$$dist(A,B)=max_i|A_i-B_i|$$
or
$$dist(A,B)=lim_{p→infty}(sum_{i=1}^n|A_i-B_i|^p)^{frac{1}{p}}$$

需要將空間劃分成網格, 然后以網格為單位來進行度量, 允許8個方向

import numpy as np

vec1 = np.array([1, 3, 4])
vec2 = np.array([4, 2, 4])

d = np.linalg.norm(vec1-vec2, ord=np.inf)
# 或者
d = np.abs(vec1-vec2).max()

歐氏空間中的一種測度，被看做是歐氏距離和曼哈頓距離的一種推廣

$$dist(A,B)=sqrt[p]{sum_{i=1}^n|A_i-B_i|^p}$$

當 $p=1$ 時，就是曼哈頓距離

當 $p=2$ 時，就是歐氏距離

當 $p→∞$ 時，就是切比雪夫距離

import numpy as np

vec1 = np.array([1, 3, 4])
vec2 = np.array([4, 2, 4])

"""
ord=1: 一范數
ord=2: 二范數
ord=np.inf: 無窮范數
"""
d = np.linalg.norm(vec1-vec2, ord=arg)

在信息論中，兩個等長字符串之間的漢明距離(Hamming distance)是兩個字符串對應位置的不同字符的個數

$$dist(A,B)=sum_{i=0}^n{A[i]igoplus B[i]}$$

信息編碼(為了增強容錯性，應使得編碼間的最小漢明距離盡可能大)

import numpy as np

vec1 = np.array([1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
vec2 = np.array([0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1])

d = len(np.nonzero(vec1-vec2)[0])
# 或者
d = np.shape(np.nonzero(vec1-vec2)[0])[0]

余弦相似度，又稱為余弦相似性，是通過計算兩個向量的夾角余弦值來評估他們的相似度

$$cos( heta)=cfrac{Acdot B}{|A||B|}$$
or
$$cos( heta)=cfrac{sum_{i=1}^nA_iB_i}{sqrt{sum_{i=1}^nA_i^2}sqrt{sum_{i=1}^nB_i^2}}$$

衡量兩個向量方向的差異

import numpy as np

vec1 = np.array([1, 3, 4])
vec2 = np.array([4, 2, 4])

d = np.dot(vec1,vec2)/(np.linalg.norm(vec1)*(np.linalg.norm(vec2)))

用于度量兩個變量之間的相關程度

$$P(A,B)=cfrac{sum_{i=1}^n(A_i-overline A)(B_i-overline B)}{sqrt{sum_{i=1}^n(A_i-overline A)^2sum_{i=1}^n(B_i-overline B)^2}}$$

反映兩個變量是正相關還是負相關

import numpy as np

vec1 = np.array([1, 3, 4])
vec2 = np.array([4, 2, 4])

p = np.corrcoef(vec1, vec2)

用于比較有限樣本集之間的相似性與差異性

$$J(A,B)=cfrac{|Aigcap B|}{|Aigcup B|}$$

$$J_delta(A,B)=1-J(A,B)=cfrac{|Aigcup B|-|Aigcap B|}{|Aigcup B|}$$

比較文本相似度，用于文本查重與去重；

計算對象間距離，用于數據聚類或衡量兩個集合的區分度等。

import numpy as np
import scipy.spatial.distance as dist

vec1 = np.array([1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
vec2 = np.array([0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1])

d = dist.pdist(np.array([vec1, vec2]), "jaccard")

參考鏈接

Python Numpy計算各類距離

關于機器學習距離的理解

機器學習中的相似性度量

如何通俗易懂地理解皮爾遜相關系數

GeoGebra 數學應用