摘要：這種解法中，外層循環遍歷的是子字符串的中心點，內層循環則是從中心擴散，一旦不是回文就不再計算其他以此為中心的較大的字符串。

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

時間 O(n^3) 空間 O(1)

暴力法就是窮舉所有子字符串的可能，然后依次按位判斷其是否是回文，并更新結果。雖然其時間復雜度很高，但它對空間的要求很低。

public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int maxLength = 0;
        int maxStart = 0;
        int len = s.length();
        //i是字符串長度
        for(int i = 0; i < len; i++){
            //j是字符串起始位置
            for(int j = 0; j < len - i; j++){
                //挨個判斷是否回文
                if(isPalindrome(s,i,j) && (i+1)>maxLength){
                    maxLength = i + 1;
                    maxStart = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(maxStart,maxStart + maxLength);
    }
    
    private isPalindrome(String s, int i, int j){
        int left = j;
        int right = j + i;
        while(left
動態規劃 Dynamic Programming
復雜度
時間 O(n^2) 空間 O(n^2)
思路
根據回文的特性，一個大回文按比例縮小后的字符串也必定是回文，比如ABCCBA，那BCCB肯定也是回文。所以我們可以根據動態規劃的兩個特點：第一大問題拆解為小問題，第二重復利用之前的計算結果，來解答這道題。那如何劃分小問題呢，我們可以先把所有長度最短為1的子字符串計算出來，根據起始位置從左向右，這些必定是回文。然后計算所有長度為2的子字符串，再根據起始位置從左向右。到長度為3的時候，我們就可以利用上次的計算結果：如果中心對稱的短字符串不是回文，那長字符串也不是，如果短字符串是回文，那就要看長字符串兩頭是否一樣。這樣，一直到長度最大的子字符串，我們就把整個字符串集窮舉完了，但是由于使用動態規劃，使計算時間從O(N^3)減少到O(n^2)。
注意

外循環的變量控制的實際上不是字符串長度，而是字符串首到尾的增量
二維數組的第一維是指子字符串起始位置，第二維是指終止位置，所存數據表示是否回文

代碼
public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int maxLength = 0;
        int maxStart = 0;
        int len = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        //i是字符串長度
        for(int i = 0; i < len; i++){
            //j是字符串起始位置
            for(int j = 0; j < len - i; j++){
                if(i==0||i==1){
                    //如果字符串長度為0，必定為回文
                    dp[j][j+i] = true;
                } else if(s.charAt(j+i)==s.charAt(j)){
                    //如果左右兩端相等，那只要中心對稱子字符串是回文就是回文
                    dp[j][j+i] = dp[j+1][j+i-1];
                } else {
                    //否則不是回文
                    dp[j][j+i] = false;
                }
                if(dp[j][j+i] && i > maxLength){
                    maxLength = i + 1;
                    maxStart = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(maxStart,maxStart + maxLength);
    }
}
中心擴散法 Spread From Center
復雜度
時間 O(n^2) 空間 O(1)
思路
動態規劃雖然優化了時間，但也浪費了空間。實際上我們并不需要一直存儲所有子字符串的回文情況，我們需要知道的只是中心對稱的較小一層是否是回文。所以如果我們從小到大連續以某點為個中心的所有子字符串進行計算，就能省略這個空間。 這種解法中，外層循環遍歷的是子字符串的中心點，內層循環則是從中心擴散，一旦不是回文就不再計算其他以此為中心的較大的字符串。由于中心對稱有兩種情況，一是奇數個字母以某個字母對稱，而是偶數個字母以兩個字母中間為對稱，所以我們要分別計算這兩種對稱情況。
代碼
public class Solution {
    String longest = "";
    
    public String longestPalindrome(String s) {
        for(int i = 0; i < s.length(); i++){
            //計算奇數子字符串
            helper(s, i, 0);
            //計算偶數子字符串
            helper(s, i, 1);
        }
        return longest;
    }
    
    private void helper(String s, int idx, int offset){
        int left = idx;
        int right = idx + offset;
        while(left>=0 && right longest.length()){
            longest = currLongest;
        }
    }
}

2018/2
class Solution:
    def longestPalindrome(self, s):
        """
        :type s: str
        :rtype: str
        """
        maxStr = ""
        for index in range(0, len(s)):
            sub1 = self.spreadFromCenter(s, index, 0)
            sub2 = self.spreadFromCenter(s, index, 1)
            if len(sub1) > len(maxStr):
                maxStr = sub1
            if len(sub2) > len(maxStr):
                maxStr = sub2
        return maxStr
        
    def spreadFromCenter(self, string, centerIndex, offset):
        leftIndex = centerIndex
        rightIndex = centerIndex + offset
        length = len(string)
        while leftIndex >= 0 and rightIndex < length and string[leftIndex] == string[rightIndex]:
            leftIndex = leftIndex - 1
            rightIndex = rightIndex + 1
        leftIndex = leftIndex + 1
        substring = string[leftIndex:rightIndex]
        return substring
馬拉車算法 Manacher Algorithm
復雜度
時間 O(n) 空間 O(n)
關于時間復雜度的證明：http://www.zhihu.com/question...
思路
Manacher算法是非常經典的計算連續下標回文的算法。它利用了回文的對稱性，更具體的來說，是回文內回文的對稱性，來解決這個問題。
參見：http://www.felix021.com/blog/...
代碼
public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        if(s.length()<=1){
            return s;
        }
        // 預處理字符串，避免奇偶問題
        String str = preProcess(s);
        // idx是當前能夠向右延伸的最遠的回文串中心點，隨著迭代而更新
        // max是當前最長回文串在總字符串中所能延伸到的最右端的位置
        // maxIdx是當前已知的最長回文串中心點
        // maxSpan是當前已知的最長回文串向左或向右能延伸的長度
        int idx = 0, max = 0;
        int maxIdx = 0;
        int maxSpan = 0;
        int[] p = new int[str.length()];
        for(int curr = 1; curr < str.length(); curr++){
            // 找出當前下標相對于idx的對稱點
            int symmetryOfCurr = 2 * idx - curr;
            // 如果當前已知延伸的最右端大于當前下標，我們可以用對稱點的P值，否則記為1等待檢查
            p[curr] = max > curr? Math.min(p[symmetryOfCurr], max - curr):1;
            // 檢查并更新當前下標為中心的回文串最遠延伸的長度
            while((curr+p[curr])max){
                max = p[curr] + curr;
                idx = curr;
            }
            // 檢查并更新當前已知的最長回文串信息
            if(p[curr]>maxSpan){
                maxSpan = p[curr];
                maxIdx = curr;
            }
        }
        //去除占位符
        return s.substring((maxIdx-maxSpan)/2,(maxSpan+maxIdx)/2-1);
    }
    
    private String preProcess(String s){
        // 如ABC,變為$#A#B#C#
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.append("$");
        for(int i = 0; i < s.length(); i++){
            sb.append("#");
            sb.append(s.charAt(i));
        }
        sb.append("#");
        return sb.toString();
    }
}
后續 Follow Up
Q：如果只能在頭或尾刪，問最少刪多少字符能使得該字符串變為回文？
A：就是找到最長回文串，然后把長度減一下就行了。