摘要：我理解的數據結構七堆和優先隊列一堆堆的基礎堆也是一顆樹堆最為主流的一種實現方式二叉堆二叉堆是一顆完全二叉樹完全二叉樹完全二叉樹是效率很高的數據結構，完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。

1.堆的基礎

堆也是一顆樹

堆最為主流的一種實現方式：二叉堆

二叉堆是一顆完全二叉樹

2.完全二叉樹

完全二叉樹是效率很高的數據結構，完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對于深度為K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之為完全二叉樹。
(通俗來說：完全二叉樹不一定是滿二叉樹，當一層已滿容納不下新的節點時，新的一層從左至右來盛放新節點，缺失的節點一定在右側)

最大堆：堆中某個節點的值總是不大于其父節點的值（相應的，可以定義最小堆）

3.用數組存儲二叉堆

4.基礎代碼實現

這里的ArrayNew是我之前實現的數組：數組代碼

public class Heap> {

    private ArrayNew data;

    public Heap(int capacity) {
        data = new ArrayNew<>(capacity);
    }

    public Heap() {
        data = new ArrayNew<>();
    }

    // 返回堆中的元素個數
    public int size() {
        return data.getSize();
    }

    // 堆中是否包含元素
    public boolean isEmpty() {
        return data.isEmpty();
    }

    // 父節點的索引
    private int parent(int index) {
        if (index == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn"t have parent");
        }
        return (index - 1) / 2;
    }

    // 左子節點的索引
    private int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    // 右子節點的索引
    private int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

}

5.添加元素（sift up）

步驟：

在最后一層的最后添加這個元素，如果是滿樹，則在新的一層最左端添加

與其父節點做比較，如果父節點小于當前元素的節點，置換位置

以此類推，直到比較至根節點

// 添加元素
public void add(E e) {
    data.addLast(e);
    siftUp(data.getSize() - 1);
}

// 上浮
private void siftUp(int index) {

    // 添加的元素大于父節點的元素
    while (index > 0 && data.get(index).compareTo(data.get(parent(index))) > 0) {
        data.swap(index, parent(index));
        index = parent(index);
    }
}

6.取出元素（sift down）

步驟：

最后一個節點與根節點交換，取出末尾節點，這樣整體樹結構不會改變，只是位置不對

根節點與子節點的元素做比較，如果比子節點的最大的節點元素小，則置換位置

以此類推，直至比子節點的元素都大

// 查看堆中的最大值
public E findMax() {
    if (data.isEmpty()) {
        throw new IllegalArgumentException("can"t find Max in empty heap");
    }

    return data.get(0);
}

// 取出堆中的最大值
public E extractMax() {
    E ret = data.get(0);

    data.swap(0, data.getSize() - 1);
    data.removeLast();
    siftDown(0);
    return ret;
}

// 下沉
private void siftDown(int index) {

    while (leftChild(index) < data.getSize()) { // 有子節點（左子節點沒有越界）

        int j = leftChild(index);

        // 有右子節點，并且右節點元素大于左節點元素
        if (j + 1 < data.getSize() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
            j = j + 1;
        }

        // 此時，data[j]就是左右子節點的最大節點值

        if (data.get(j).compareTo(data.get(index)) <= 0) {
            break;
        }

        data.swap(index, j);
        index = j;
    }
}

7.Heapify和replace

replace（取出堆中的最大元素，再放入一個新的元素）

實現：可以先extractMax再add，但是這樣會有兩次O(logn)操作

優化：可以將堆頂元素替換以后再siftDown，這樣只有一次O(logn)操作

// 取出堆中的最大元素，并替換成元素e，重新siftDown
public E replace(E e) {
    E ret = data.get(0);
    data.set(0, e);
    siftDown(0);
    return ret;
}

heapify（將任意數組整理成堆的形狀）

實現：將n個元素逐個插入到一個空堆中，算法復雜度是O(logn)

優化：heapify（算法復雜度是O(n)）

將任意一個數組看成完全二叉樹（盡管元素的位置不對）

找到最后一個非葉子節點（最后一個節點的父節點）

從最后一個非葉子節點倒著不斷的對每個節點siftDown就可以了

// heapify
public Heap(E[] arr) {
    data = new ArrayNew<>(arr);
    for (int i = parent(data.getSize() - 1); i > 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

8. 復雜度分析

因為堆的取出和添加復雜度都是O(logn)，所以堆的性能是很高的。

1.優先隊列基礎

普通隊列：先進先出，后進后出

優先隊列：出隊順序和入隊順序無關，和優先級有關

2.隊列接口

public interface Queue {
    int getSize();
    boolean isEmpty();
    void enqueue(E e);
    E dequeue();
    // 查看隊首元素
    E getFront();
}

3.基于堆的優先隊列代碼實現

public class priorityQueue> implements Queue {

    Heap data;

    public priorityQueue() {
        data = new Heap<>();
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return data.size();
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return data.isEmpty();
    }

    @Override
    public void enqueue(E e) {
        data.add(e);
    }

    @Override
    public E dequeue() {
        return data.extractMax();
    }

    @Override
    public E getFront() {
        return data.findMax();
    }
}

4.LeetCode中有關優先隊列的問題

347. 前K個高頻元素

題目：347. 前K個高頻元素

描述：給定一個非空的整數數組，返回其中出現頻率前 k 高的元素。

例子：

示例 1:
輸入: nums = [1,1,1,2,2,3], k = 2
輸出: [1,2]

示例 2:
輸入: nums = [1], k = 1
輸出: [1]

解決代碼：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.TreeMap;

// 只需要在`Solution`這個類中引入所需要的類即可
// 所有的類都可以在之前的博客中找到
public class Solution {

    private class Freq implements Comparable {
        public int e, freq;

        public Freq(int e, int freq) {
            this.e = e;
            this.freq = freq;
        }

        @Override
        public int compareTo(Freq another) {
            if (this.freq < another.freq) {
                return 1;
            } else if (this.freq > another.freq) {
                return -1;
            } else {
                return 0;
            }
        }
    }

    public List topKFrequent(int[] nums, int k) {

        TreeMap map = new TreeMap<>();
        for (int num : nums) {
            if (map.containsKey(num)) {
                map.put(num, map.get(num) + 1);
            } else {
                map.put(num, 1);
            }
        }

        PriorityQueue pq = new PriorityQueue<>();
        for (int key : map.keySet()) {
            if (pq.getSize() < k) {
                pq.enqueue(new Freq(key, map.get(key)));
            } else if (map.get(key) > pq.getFront().freq) {
                pq.dequeue();
                pq.enqueue(new Freq(key, map.get(key)));
            }
        }

        ArrayList list = new ArrayList<>();
        while (!pq.isEmpty()) {
            list.add(pq.dequeue().e);
        }
        return list;
    }

}