摘要：原文博客地址學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)四樹知乎專欄簡書專題前端進擊者知乎前端進擊者簡書博主博客地址的個人博客人之所能，不能兼?zhèn)洌瑮壠渌蹋∑渌L。通常子樹被稱作左子樹和右子樹。敬請期待數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)篇最后一篇文章學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)五圖參考文章樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二叉樹

總括： 本文講解了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的[樹]的概念，盡可能通俗易懂的解釋樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的概念，使用javascript實現(xiàn)了樹，如有紕漏，歡迎批評指正。

原文博客地址：學(xué)習(xí)javascript數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(四)——樹

知乎專欄&&簡書專題：前端進擊者（知乎）&&前端進擊者（簡書）

博主博客地址：Damonare的個人博客

人之所能，不能兼?zhèn)洌瑮壠渌蹋∑渌L。

在上一篇學(xué)習(xí)javascript數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(三)——集合中我們說了集合這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在學(xué)習(xí)javascript數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(一)——棧和隊列和學(xué)習(xí)javascript數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(二)——鏈表說了棧和隊列以及鏈表這類線性表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。接下來這一篇說的是樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。首先想讓大家明白的是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是個什么玩意兒，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以分為數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)，所謂的數(shù)據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)在我理解就是計算機對于數(shù)據(jù)的組織方式的研究。也就是說研究的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。而數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)是數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)在計算機中的具體實現(xiàn)，也就是說一種邏輯結(jié)構(gòu)可能會有多種存儲結(jié)構(gòu)與之相對應(yīng)。

那么我們這一篇所說的樹就是一種數(shù)據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)，即研究的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。之前所說的棧、隊列、鏈表都是一種線性結(jié)構(gòu)，相信大家也能發(fā)現(xiàn)這種線性結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)關(guān)系有一個共同點，就是數(shù)據(jù)都是一對一的，而上一篇說到的集合這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)是散亂的，他們之間的關(guān)系就是隸屬于同一個集合，如上一篇例子所說，這些小孩子都是同一個幼兒園的，但是這些小孩子之間的關(guān)系我們并不知道。線性表(棧、隊列、鏈表)就是對這些小孩子關(guān)系的一種表達(一對一)。而集合也是對于這些小孩子關(guān)系的一種表達。和線性表不同的是，樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一對多的，也就是說他所描述的是某個小孩子和其它小孩子之間的關(guān)系。

樹這種結(jié)構(gòu)實際上我們平時也有見到，比如下圖這種簡單的思維導(dǎo)圖：

如下也是一棵樹：

關(guān)于樹概念總結(jié)如下:

?1）樹形結(jié)構(gòu)是一對多的非線性結(jié)構(gòu)。
?2）樹形結(jié)構(gòu)有樹和二叉樹兩種，樹的操作實現(xiàn)比較復(fù)雜，但樹可以轉(zhuǎn)換為二叉樹進行處理。
?3）樹的定義：樹(Tree)是 n(n≥0)個相同類型的數(shù)據(jù)元素的有限集合。
?4）樹中的數(shù)據(jù)元素叫節(jié)點(Node)。
?5）n=0 的樹稱為空樹(Empty Tree)；
?6）對于 n＞0 的任意非空樹 T 有：?
???? （1）有且僅有一個特殊的節(jié)點稱為樹的根(Root)節(jié)點，根沒有前驅(qū)節(jié)點；?
???? （2）若n＞1，則除根節(jié)點外，其余節(jié)點被分成了m(m＞0)個互不相交的集合
???? ? ? ? T1，T2，。。。，Tm，其中每一個集合Ti(1≤i≤m)本身又是一棵樹。樹T1，T2，。。。，Tm稱為這棵樹的子樹(Subtree)。?
?7）樹的定義是遞歸的，用樹來定義樹。因此，樹（以及二叉樹）的許多算法都使用了遞歸。?

參看維基百科對于樹的定義：

在計算機科學(xué)中，樹（英語：tree）是一種抽象數(shù)據(jù)類型（ADT）或是實作這種抽象數(shù)據(jù)類型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用來模擬具有樹狀結(jié)構(gòu)性質(zhì)的數(shù)據(jù)集合。它是由n（n>=1）個有限節(jié)點組成一個具有層次關(guān)系的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

每個節(jié)點有零個或多個子節(jié)點；

沒有父節(jié)點的節(jié)點稱為根節(jié)點；

每一個非根節(jié)點有且只有一個父節(jié)點；

除了根節(jié)點外，每個子節(jié)點可以分為多個不相交的子樹；

樹的種類：

無序樹：樹中任意節(jié)點的子節(jié)點之間沒有順序關(guān)系，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹；


有序樹：樹中任意節(jié)點的子節(jié)點之間有順序關(guān)系，這種樹稱為有序樹；

二叉樹：每個節(jié)點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹；完全二叉樹：對于一顆二叉樹，假設(shè)其深度為d（d>1）。除了第d層外，其它各層的節(jié)點數(shù)目均已達最大值，且第d層所有節(jié)點從左向右連續(xù)地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹；滿二叉樹：所有葉節(jié)點都在最底層的完全二叉樹；平衡二叉樹（AVL樹）：當(dāng)且僅當(dāng)任何節(jié)點的兩棵子樹的高度差不大于1的二叉樹；排序二叉樹(二叉查找樹（英語：Binary Search Tree），也稱二叉搜索樹、有序二叉樹)；

霍夫曼樹：帶權(quán)路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優(yōu)二叉樹；

B樹：一種對讀寫操作進行優(yōu)化的自平衡的二叉查找樹，能夠保持?jǐn)?shù)據(jù)有序，擁有多余兩個子樹。

有關(guān)樹的術(shù)語:

節(jié)點的度：一個節(jié)點含有的子樹的個數(shù)稱為該節(jié)點的度；

樹的度：一棵樹中，最大的節(jié)點的度稱為樹的度；

葉節(jié)點或終端節(jié)點：度為零的節(jié)點；

非終端節(jié)點或分支節(jié)點：度不為零的節(jié)點；

父親節(jié)點或父節(jié)點：若一個節(jié)點含有子節(jié)點，則這個節(jié)點稱為其子節(jié)點的父節(jié)點；

孩子節(jié)點或子節(jié)點：一個節(jié)點含有的子樹的根節(jié)點稱為該節(jié)點的子節(jié)點；

兄弟節(jié)點：具有相同父節(jié)點的節(jié)點互稱為兄弟節(jié)點；

節(jié)點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節(jié)點為第2層，以此類推；

樹的高度或深度：樹中節(jié)點的最大層次；

堂兄弟節(jié)點：父節(jié)點在同一層的節(jié)點互為堂兄弟；

節(jié)點的祖先：從根到該節(jié)點所經(jīng)分支上的所有節(jié)點；

子孫：以某節(jié)點為根的子樹中任一節(jié)點都稱為該節(jié)點的子孫。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

（我是維基百科搬運工，哈哈哈）

二叉樹（英語：Binary tree）是每個節(jié)點最多有兩個子樹的樹結(jié)構(gòu)。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用于實現(xiàn)二叉查找樹和二元堆積。

我們主要研究的就是二叉樹，也就是數(shù)據(jù)為一對二的關(guān)系。那么在二叉樹中又有些分類；

二叉樹分類：

一棵深度為k，且有個節(jié)點稱之為滿二叉樹；

深度為k，有n個節(jié)點的二叉樹，當(dāng)且僅當(dāng)其每一個節(jié)點都與深度為k的滿二叉樹中，序號為1至n的節(jié)點對應(yīng)時，稱之為完全二叉樹。

平衡二叉樹又被稱為AVL樹（區(qū)別于AVL算法），它是一棵二叉排序樹，且具有以下性質(zhì)：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。

1）一棵二叉樹由根結(jié)點、左子樹和右子樹三部分組成，
2） D、L、R 分別代表遍歷根結(jié)點、遍歷左子樹、遍歷右子樹，則二叉樹的
3） 遍歷方式有6 種：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL、RLD。先左或先右算法基本一樣，所以就剩下三種DLR（先序或是前序）、LDR（中序）、LRD（后序）。

前序遍歷：首先訪問根節(jié)點，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹，可記錄為根—左—右；

中序遍歷：首先訪問左子樹，然后訪問根節(jié)點，最后遍歷右子樹，可記錄為左—根—右；

后序遍歷：首先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后遍歷根節(jié)點，可記錄為左—右—根。

以上圖1為例解釋前序遍歷：

首先訪問根節(jié)點a=>然后遍歷左子樹b=>左子樹b的左子樹d=>d的右孩子e>此時b的左子樹遍歷完，遍歷b的右子樹f=>f的左孩子g=>左子樹b遍歷完，遍歷根節(jié)點的右孩子c，完成=>abdefgc

中序遍歷，后序遍歷就不多說了，不同的只是訪問的順序。

注意：

(1)已知前序、后序遍歷結(jié)果，不能推導(dǎo)出一棵確定的樹；

(2)已知前序、中序遍歷結(jié)果，能夠推導(dǎo)出后序遍歷結(jié)果；

(3)已知后序、中序遍歷結(jié)果，能夠推導(dǎo)出前序遍歷結(jié)果；

二叉查找樹（BinarySearch Tree，也叫二叉搜索樹，或稱二叉排序樹Binary Sort Tree）或者是一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹：

? ? （1）若它的左子樹不為空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)點的值；

? ? （2）若它的右子樹不為空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值；

? ? （3）它的左、右子樹也分別為二叉查找樹。

首先我們聲明一個BinarySearchTree類：

function BinarySearchTree() {
    var Node = function(key){
        this.key = key;
        this.left = null;
        this.right = null;
    };
    var root=null;
}

和鏈表一樣，二叉樹也通過指針來表示節(jié)點之間的關(guān)系。在雙向鏈表中，每一個節(jié)點有兩個指針，一個指向下一個節(jié)點，一個指向上一個節(jié)點。對于樹，使用同樣的方式，只不過一個指向左孩子，一個指向右孩子。現(xiàn)在我們給這棵樹弄一些方法：

insert(key):向樹中插入一個新的鍵(節(jié)點);

search(key):在書中查找一個鍵，如果節(jié)點存在，返回true;如果不存在，返回false;

inOrdertraverse:通過中序遍歷方式遍歷所有節(jié)點；

preorderTraverse:通過先序遍歷方式遍歷所有的節(jié)點；

postOrdertraverse:通過后序遍歷的方式遍歷所有的節(jié)點；

min:返回樹中的最小值；

max:返回樹中的最大值；

remove(key):從樹中移除某個鍵；

BinarySearchTree類的完整代碼（充分添加注釋）：

function BinarySearchTree() {
    var Node = function(key){
        this.key = key;
        this.left = null;
        this.right = null;
    };
    var root = null;
    this.insert = function(key){

        var newNode = new Node(key);

        //判斷是否是第一個節(jié)點，如果是作為根節(jié)點保存。不是調(diào)用inserNode方法
        if (root === null){
            root = newNode;
        } else {
            insertNode(root,newNode);
        }
    };
    var insertNode = function(node, newNode){
      //判斷兩個節(jié)點的大小，根據(jù)二叉搜索樹的特點左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)點的值，右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值
        if (newNode.key < node.key){
            if (node.left === null){
                node.left = newNode;
            } else {
                insertNode(node.left, newNode);
            }
        } else {
            if (node.right === null){
                node.right = newNode;
            } else {
                insertNode(node.right, newNode);
            }
        }
    };
    this.getRoot = function(){
        return root;
    };
    this.search = function(key){
        return searchNode(root, key);
    };

    var searchNode = function(node, key){
        if (node === null){
            return false;
        }
        if (key < node.key){
            return searchNode(node.left, key);
        } else if (key > node.key){
            return searchNode(node.right, key);
        } else { //element is equal to node.item
            return true;
        }
    };
    this.inOrderTraverse = function(callback){
        inOrderTraverseNode(root, callback);
    };
    var inOrderTraverseNode = function (node, callback) {
        if (node !== null) {
            inOrderTraverseNode(node.left, callback);
            callback(node.key);
            inOrderTraverseNode(node.right, callback);
        }
    };
    this.preOrderTraverse = function(callback){
        preOrderTraverseNode(root, callback);
    };
    var preOrderTraverseNode = function (node, callback) {
        if (node !== null) {
            callback(node.key);
            preOrderTraverseNode(node.left, callback);
            preOrderTraverseNode(node.right, callback);
        }
    };
    this.postOrderTraverse = function(callback){
        postOrderTraverseNode(root, callback);
    };
    var postOrderTraverseNode = function (node, callback) {
        if (node !== null) {
            postOrderTraverseNode(node.left, callback);
            postOrderTraverseNode(node.right, callback);
            callback(node.key);
        }
    };
    this.min = function() {
        return minNode(root);
    };
    var minNode = function (node) {
        if (node){
            while (node && node.left !== null) {
                node = node.left;
            }

            return node.key;
        }
        return null;
    };
    this.max = function() {
        return maxNode(root);
    };
    var maxNode = function (node) {
        if (node){
            while (node && node.right !== null) {
                node = node.right;
            }

            return node.key;
        }
        return null;
    };
    this.remove = function(element){
        root = removeNode(root, element);
    };
    var findMinNode = function(node){
        while (node && node.left !== null) {
            node = node.left;
        }
        return node;
    };
    var removeNode = function(node, element){
        if (node === null){
            return null;
        }
        if (element < node.key){
            node.left = removeNode(node.left, element);
            return node;
        } else if (element > node.key){
            node.right = removeNode(node.right, element);
            return node;
        } else { 
            //處理三種特殊情況
            //1 - 葉子節(jié)點
            //2 - 只有一個孩子的節(jié)點
            //3 - 有兩個孩子的節(jié)點
            //case 1
            if (node.left === null && node.right === null){
                node = null;
                return node;
            }
            //case 2
            if (node.left === null){
                node = node.right;
                return node;
            } else if (node.right === null){
                node = node.left;
                return node;
            }
            //case 3
            var aux = findMinNode(node.right);
            node.key = aux.key;
            node.right = removeNode(node.right, aux.key);
            return node;
        }
    };
}

樹是一種比較常見的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，不管是考試還是日常編碼或是面試都是沒法避免的一個知識點，此篇總結(jié)不甚完善，紕漏之處還望指出方便之后更改。敬請期待數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)篇最后一篇文章：[學(xué)習(xí)javascript數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（五）——圖]

樹（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）)

二叉樹