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背包問題學習筆記

xiao7cn / 2416人閱讀

摘要：狀態轉移方程背包問題的狀態轉移方程是其中即表示前件物品恰放入一個容量為的背包可以獲得的最大價值。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。

01背包 01背包的概念

有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。
從這個題目中可以看出，01背包的特點就是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

狀態轉移方程

01背包問題的狀態轉移方程是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

其中,即fi表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。
上述方程右邊可以理解為兩種情況,取最優值.
情況一:第i件不放進去,這時所得價值為:fi-1;
情況二:第i件放進去,這時所得價值為:fi-1]+w[i];

情況二的意思是,如果第i件放進去,那么在容量V-c[i]里就要放進前i-1件物品.(引用自)

案例解析

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的背包，如何讓背包里裝入的物品具有最大的價值總和？


首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的.
只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01背包的動態規劃算法。
為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的背包，那么這個背包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，背包裝不了
對于d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的背包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個背包能裝的。(引用自)

編程實現 
var n = 5; //物品數量,該參數可以自行設定
var v = 10; //背包體積,該參數可自行設定
var volumArray = [4, 3, 5, 2, 5];//物品體積組成的數組,該參數可自行設定
var valueArray = [9, 6, 1, 4, 1];//物品價值組成的數組,該參數可自行設定
var tempArray = [];

for (let a = 0; a < n; a++) {
    tempArray[a] = [];
    for (let b = 0; b < v; b++) {
        tempArray[a].push(0);
    }
}

for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < v; j++) {
        tempArray[i][j] = i == 0 ? 0 : tempArray[i - 1][j];
        if (i > 0 && j >= volumArray[i - 1]) {
            tempArray[i][j] = tempArray[i][j] >= tempArray[i - 1][j - volumArray[i - 1]] + valueArray[i - 1] ? tempArray[i][j] : tempArray[i - 1][j - volumArray[i - 1]] + valueArray[i - 1];
        }
    }
}

console.log(tempArray[n - 1][v - 1]);
完全背包 完全背包的概念

有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。
第i種物品的體積是c，價值是w。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。

狀態轉移方程

參考上述01背包的轉移方程,不難得出:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

偽代碼實現如下:

for i=1...N
    for v=0...V
        for k=1...v/w[i]
            f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]};
案例解析

給你六種面額1,5,10,20,50,100元的紙幣,假設每種幣值的數量都足夠多,編寫程序求組成N元的不同組合個數.

function fn (all) {
    const arr = [1, 5, 10, 20, 50, 100],
        len = arr.length,
        res = [];
    for (let i = 0; i <= len; i++) {
        res[i] = [];
        res[i][0] = 1;
    }
    for (let j = 1; j <= all; j++) {
        res[0][j] = 0;
    }
    for (let i = 1; i <= len; i++) {
        for (let j = 1; j <= all; j++) {
            res[i][j] = 0;
            for (let k = 0; k <= j / arr[i - 1]; k++) {
                res[i][j] += res[i - 1][j - k * arr[i - 1]];
            }
        }
    }
    return res[len][all];
}

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