JavaScript數據結構與算法（十）自平衡樹

msup 發布于2019-08-26 10:58 / 1562人閱讀

摘要：為了解決這類問題，我們進行自平衡樹的學習。自平衡樹常見有兩種樹和紅黑樹。自平衡樹準備知識節點的高度和平衡因子節點高度從節點到任意子節點的彼岸的最大值。

前面介紹了二叉樹和二叉樹搜索樹的創建和使用，接下來我們繼續學習關于樹的更多知識。
BST存在一個問題，就是當我們多次添加節點數，有可能造成一種情況，樹的一條邊可能會非常深，有非常多的層，而另一條分支卻只有幾層。當我們需要進行添加、移除和搜索某一節點時，可能會引起一些性能問題。為了解決這類問題，我們進行自平衡樹的學習。自平衡樹常見有兩種：AVL樹和紅黑樹。

自平衡樹 準備知識 節點的高度和平衡因子

節點高度：從節點到任意子節點的彼岸的最大值。這個相對來說容易理解。那么獲得節點高度的代碼實現如下：

getNodeHeight(node) {
    if (node == null) {
      return -1;
    }
    return Math.max(this.getNodeHeight(node.left), this.getNodeHeight(node.right)) + 1;
  }

平衡因子：每個節點左子樹高度和右子樹高度的差值。該值為0 、 -1、 1 時則為正常值，說明該二叉樹已經平衡。若果該值不是這三個值之一，則需要平衡該樹。遵循計算一個節點的平衡因子并返回其值的代碼如下：

const BalanceFactor = {
  UNBALANCED_RIGHT: 1,
  SLIGHTLY_UNBALANCED_RIGHT: 2,
  BALANCED: 3,
  SLIGHTLY_UNBALANCED_LEFT: 4,
  UNBALANCED_LEFT: 5
};
getBalanceFactor(node) {
    const heightDifference = this.getNodeHeight(node.left) - this.getNodeHeight(node.right);
    switch (heightDifference) {
      case -2:
        return BalanceFactor.UNBALANCED_RIGHT;
      case -1:
        return BalanceFactor.SLIGHTLY_UNBALANCED_RIGHT;
      case 1:
        return BalanceFactor.SLIGHTLY_UNBALANCED_LEFT;
      case 2:
        return BalanceFactor.UNBALANCED_LEFT;
      default:
        return BalanceFactor.BALANCED;
    }
  }

AVL樹

AVL樹是一種自平衡樹，添加或移除節點時，AVL會嘗試保持自平衡，也就是會可能嘗試轉換為完全樹。接下來介紹平衡樹進行自平衡的操作，AVL旋轉

AVL旋轉

在對AVL進行添加或者移除節點后，我們需要計算節點的高度并驗證是否需要進行平衡。旋轉操作分為單旋轉和雙旋轉兩種。

左-左LL（向右的單旋轉）

/**
   * Left left case: rotate right
   *
   *       b                           a
   *      /                          / 
   *     a   e -> rotationLL(b) ->   c   b
   *    /                              / 
   *   c   d                           d   e
   *
   * @param node Node
   */
rotationLL(node){
    const tmp = node.right;
    node.left = tmp.right;
    tmp.right = node;
    return tmp;
}

右-右RR（向左的單旋轉）

/**
   * Right right case: rotate left
   *
   *     a                              b
   *    /                             / 
   *   c   b   -> rotationRR(a) ->    a   e
   *      /                         / 
   *     d   e                      c   d
   *
   * @param node Node
   */
  rotationLL(node) {
    const tmp = node.left;
    node.left = tmp.right;
    tmp.right = node;
    return tmp;
  }

左-右（LR）：向右的雙旋轉

/**
   * Left right case: rotate left then right
   * @param node Node
   */
  rotationLR(node) {
    node.left = this.rotationRR(node.left);
    return this.rotationLL(node);
  }

右-左（RL）：向左的雙旋轉

/**
   * Right left case: rotate right then left
   * @param node Node
   */
  rotationRL(node) {
    node.right = this.rotationLL(node.right);
    return this.rotationRR(node);
  }

完成平衡操作（旋轉）的學習后，我們接下來完善一下AVL樹添加或者移除節點的操作

添加節點

insert(key) {
    this.root = this.insertNode(this.root, key);
  }

  insertNode(node, key) {
    if (node == null) {
      return new Node(key);
    } if (this.compareFn(key, node.key) === Compare.LESS_THAN) {
      node.left = this.insertNode(node.left, key);
    } else if (this.compareFn(key, node.key) === Compare.BIGGER_THAN) {
      node.right = this.insertNode(node.right, key);
    } else {
      return node; // duplicated key
    }
    // verify if tree is balanced
    const balanceFactor = this.getBalanceFactor(node);
    if (balanceFactor === BalanceFactor.UNBALANCED_LEFT) {
      if (this.compareFn(key, node.left.key) === Compare.LESS_THAN) {
        // Left left case
        node = this.rotationLL(node);
      } else {
        // Left right case
        return this.rotationLR(node);
      }
    }
    if (balanceFactor === BalanceFactor.UNBALANCED_RIGHT) {
      if (this.compareFn(key, node.right.key) === Compare.BIGGER_THAN) {
        // Right right case
        node = this.rotationRR(node);
      } else {
        // Right left case
        return this.rotationRL(node);
      }
    }
    return node;
  }

移除節點

 removeNode(node, key) {
    node = super.removeNode(node, key); // {1}
    if (node == null) {
      return node;
    }
    // verify if tree is balanced
    const balanceFactor = this.getBalanceFactor(node);
    if (balanceFactor === BalanceFactor.UNBALANCED_LEFT) {
      // Left left case
      if (
        this.getBalanceFactor(node.left) === BalanceFactor.BALANCED
        || this.getBalanceFactor(node.left) === BalanceFactor.SLIGHTLY_UNBALANCED_LEFT
      ) {
        return this.rotationLL(node);
      }
      // Left right case
      if (this.getBalanceFactor(node.left) === BalanceFactor.SLIGHTLY_UNBALANCED_RIGHT) {
        return this.rotationLR(node.left);
      }
    }
    if (balanceFactor === BalanceFactor.UNBALANCED_RIGHT) {
      // Right right case
      if (
        this.getBalanceFactor(node.right) === BalanceFactor.BALANCED
        || this.getBalanceFactor(node.right) === BalanceFactor.SLIGHTLY_UNBALANCED_RIGHT
      ) {
        return this.rotationRR(node);
      }
      // Right left case
      if (this.getBalanceFactor(node.right) === BalanceFactor.SLIGHTLY_UNBALANCED_LEFT) {
        return this.rotationRL(node.right);
      }
    }
    return node;
  }
}

以上就是關于AVL樹基礎知識的學習，接下來我們介紹另一種平衡樹——紅黑樹。
和AVL樹一樣，紅黑樹也是一個自平衡二叉樹。紅黑樹本質上也是AVL樹，但可以包含多次插入和刪除。在紅黑樹中，每個節點都遵循以下規則：

顧名思義，每個節點不是紅的就是黑的；

樹的根節點就是黑的；

所有葉節點都是黑的；

如果一個節點是紅的，那么他的兩個子節點都是黑的

不能有兩個相鄰的紅節點，一個紅節點不能有紅的父節點或子節點；

從給定的節點到他的后代節點（NULL葉節點）的所有路徑包含相同數量的黑色節點。

紅黑樹 創建紅黑樹的骨架

const BalanceFactor = {
  UNBALANCED_RIGHT: 1,
  SLIGHTLY_UNBALANCED_RIGHT: 2,
  BALANCED: 3,
  SLIGHTLY_UNBALANCED_LEFT: 4,
  UNBALANCED_LEFT: 5
};
//定義顏色類
const Colors = {
  RED:"red",
  BLACK:"black"
};
//創建紅黑樹的節點類型
class RedBlackNode extends Node{
  constructor(key){
    super(key);
    this.key = key;
    this.color = Colors.RED;
    this.parent = null;
  }
  isRed(){
    return this.color === Colors.RED;
  }
};
class RedBlackTree extends BinarySearchTree{
  constructor(compareFn = defaultCompare){
    super(compareFn);
    this.compareFn = compareFn;
    this.root = null;
  };
}

旋轉操作

向右單旋轉

 //rotationLL
  static rotationLL(node){
    const tmp = node.left;
    node.left = tmp.right;
    if(tmp.right && tmp.right.key){
      tmp.right.parent = node;
    }
    tmp.right.parent = node.parent;
    if (!node.parent){
      this.root = tmp;
    }else{
      if(node === node.parent.left){
        node.parent.left = tmp;
      }else{
        node.parent.right = tmp;
      }
      tmp.right = node;
      node.parent = tmp;
    }
  };

向左單旋轉

//rotationRR
  static rotationRR(node){
    const tmp = node.right;
    node.right = tmp.left;
    if (tmp.left && tmp.left.key){
      tmp.left.parent = node;
    }
    tmp.parent = node.parent;
    if (!node.parent){
      this.root = tmp;
    }else{
      if(node === node.parent.left){
        node.parent.left = tmp;
      }else{
        node.parent.right = tmp;
      }
    }
    tmp.left = node;
    node.parent = tmp;
  }

驗證節點顏色屬性

 //插入節點后驗證紅黑樹的屬性
  static fixTreeProperties(node){
    while (node && node.parent && node.parent.color.isRed() && node.color !== Colors.BLACK){
      let parent = node.parent;
      const grandParent = parent.parent;
      //case A:父節點是左側子節點
      if (grandParent && grandParent.left === parent){
        const uncle = grandParent.right;
        //case 1A：叔節點也是紅色——只需要重新填色
        if (uncle && uncle.color === Colors.RED){
          grandParent.color = Colors.RED;
          parent.color  = Colors.BLACK;
          uncle.color = Colors.BLACK;
          node = grandParent;
        }else{
          // case 2A:節點是右側子節點——右旋轉
          if (node === parent.left){
            RedBlackTree.rotationRR(parent);
            node = parent;
            parent = node.parent;
          }
          //case 3A:子節點是左側子節點——左旋轉
          else if(node === parent.right){
            RedBlackTree.rotationRR(grandParent);
            parent.color = Colors.BLACK;
            grandParent.color = Colors.RED;
            node = parent;
          }
        }
      }
      //case B:父節點是右側子節點
      else{
        const uncle = grandParent.left;
        //case1B:叔節點是紅色——只需要重新填色
        if(uncle && uncle.color === Colors.RED){
          grandParent.color = Colors.RED;
          parent.color = Colors.BLACK;
          uncle.color = Colors.BLACK;
          node = grandParent;
        }
        //case2B:節點是左側子節點—右旋轉
        if (node === parent.left){
          RedBlackTree.rotationLL(parent);
          node = parent;
          parent = node.parent;
        }
        //case3B:節點是右側子節點——左旋轉
        else if(node === parent.right){
          RedBlackTree.rotationRR(grandParent);
          parent.color = Colors.BLACK;
          grandParent.color = Colors.RED;
          node = parent;
        }
      }
      this.root.color = Colors.BLACK;
    }
  }

添加新節點

 //向紅黑樹插入新節點
  insertNode(node,key){
    if(this.compareFn(key,node.key) === Compare.LESS_THAN){
      if(node.left === null){
        node.left = new RedBlackNode(key);
        node.left.parent = node;
        return node.left;
      }
      else{
        return this.insertNode(node.left,key);
      }
    }
    else if(node.right === null){
      node.right = new RedBlackNode(key);
      node.right.parent = node;
      return node.right;
    }
  };
  insert(key) {
    if (this.root === null){
      this.root = new RedBlackNode(key);
      this.root.color = Colors.BLACK;
    }else{
      const newNode = this.insertNode(this.root, key);
      RedBlackTree.fixTreeProperties(newNode);
    }
  };

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