摘要：一個來自于程序設計的經典問題。注意事項負數問題。和上一點是一樣的問題，要確定方式是屬于具體的對象，還是屬于一個類。

一個來自于C++程序設計的經典問題。如何定義一個分數類，實現分數的約分化簡，分數之間的加法、減法、乘法、除法四則運算？

剛看到這道題的時候，第一感覺是挺簡單的啊，就是基本的面向對象，定義對應的加減乘除類就可以了啊，然而到了實現的時候才發現許多問題是說起來容易做起來難，在實現的過程中，發現了許多的注意點，以及算法。

最終得出結論：這個問題著實是考察程序員基本功的一道好題。

分數類設計的總體思路如下：

首先是分數的表示，這就需要利用兩個變量保存分數的分子和分母；

其次是約分和通分，由于分數四則運算中需要借助約分和通分來實現，因此必須先考慮實現這兩個算法。

加法和乘法的實現。利用約分和通分就可以輕松實現。

減法和除法的實現。是加法和乘法的逆運算。和直接轉化為加法和乘法。

負數問題。這個問題十分重要，在我們的算法中，都規定分母為正數，如果出現了分母為負數的情況，就分子分母同時乘以-1，把負數運算放在分子上。

函數的副作用(side effect)。盡量不要在方法中改變原來分數的值，否則會產生副作用，導致后面的運算出錯，在代碼中會說明。

靜態方法和動態方法。和上一點是一樣的問題，要確定方式是屬于具體的對象，還是屬于一個類。

除法運算中，除數不能等于0

構造方法中有三個細節：一是使用了參數默認值，默認不寫參數時，讓分子分母都等于1；二是在構造方法中進行了分母合法性的驗證，分母等于0時直接返回錯誤信息；三是對負值進行了處理，使分數的分母永遠為正數，方便后續運算。

/**
* 分數運算類
*/
class Fraction 
{
    //定義分子和分母
    public $fenzi;
    public $fenmu;
    
    //構造函數
    function __construct($fenzi = 1,$fenmu = 1)
    {
        if ($fenmu == 0) {
            return "分母不能為0";
        }
        if ($fenmu < 0) {
            $fenmu = -$fenmu;
            $fenzi = -$fenzi;
        }
        $this->fenzi = $fenzi;
        $this->fenmu = $fenmu;
    }
}

為了后續的約分和通分，必須先求出最大公約數和最小公倍數。求最大公約數采用輾轉相除法，而最小公倍數由以下公式可求：

最小公倍數 = （數A * 數B）/ 最大公約數

//求最大公約數用于約分
private static function _getmax($a, $b)
{
    if($a < 0) $a = -$a;
    if($b < 0) $b = -$b;
    $tmp = $a % $b;
    while($tmp != 0) {
        $a = $b;
        $b = $tmp;
        $tmp = $a % $b;
    }
    return $b;
}

//求最小公倍數用于通分
private static function _getmin($a, $b)
{
    if($a < 0) $a = -$a;
    if($b < 0) $b = -$b;   
    $max = self::_getmax($a,$b);
    $min = intval(($a * $b) / $max);
    return $min;
}

/**
 * 約分運算，基本算法為分子分母同時除以最大公約數；
 * @return void 將對象的分子分母約分為最簡形式    
 */
public function reduction()
{
    $max = $this->_getmax($this->fenzi,$this->fenmu);
    $this->fenzi = intval($this->fenzi / $max);
    $this->fenmu = intval($this->fenmu / $max);
}

這兩個方法全部都定義為靜態私有方法，只在類內調用且不需實例化。求最大公約數和最小公倍數的算法其實還有很多種，@燼醬采用了另外一種方法，C++代碼如下：

/**
 * 求最大公約數并進行約分
 * @return void
 */
int reduction()
{
    int i,comdiv,small,max;

    if(above1;i--)
    {
        if(small%i==0 &max%i==0 )
            break;
    }

    comdiv=i; //最大公約數
    if(i!=0)
    {
        above/=i;
        below/=i;
    }
    return 0;
}

這種方法的本質就窮盡法，核心思想在于for循環當中。同樣的，也可用此法求最小公倍數。

分數加法的算法如下：

/**
 * 加法運算，寫成靜態方法，需要傳遞兩個分數對象實例。加法的基本步驟為：
 * 1. 求兩個分母的最小公倍數；
 * 2. 利用最小公倍數進行通分，此時分母就是最小公倍數，第一個分數的分子等于原來的分子*(最小公倍數/原來的分母)，第二個分數的分子同理；
 * 3. 分母不變，分子相加；
 * 4. 對結果進行約分；
 * 
 * @param  fraction $fra1 分數相加的加數1
 * @param  fraction $fra2 分數相加的加數2  
 * @return fraction  $fra 分數相加的計算結果
 */
public static function add($fra1, $fra2)
{
    $fra = new Fraction();
    $min = self::_getmin($fra1->fenmu,$fra2->fenmu);
    $fenzi_left = $fra1->fenzi * ($min / $fra1->fenmu);
    $fenzi_right = $fra2->fenzi * ($min / $fra2->fenmu);

    $fra->fenmu = $min;
    $fra->fenzi = $fenzi_left + $fenzi_right;
    $fra->reduction();
    return $fra;
}

/**
 * 減法運算，加法的逆運算，只需要將參數$fra2的分子取反，將減法運算化為加法運算
 * 
 * @param  fraction $fra1 分數相減的被減數
 * @param  fraction $fra2 分數相減的減數
 * @return fraction $fra 分數相減的計算結果
 */
public static function minus($fra1, $fra2)
{
    $fra_t = new Fraction(-$fra2->fenzi,$fra2->fenmu);
    return self::add($fra1,$fra_t);
}

在上述算法中，定義了兩個靜態方法，每個方法需要傳入兩個分數對象，之后就可以按上面的算法步驟進行加法和減法運算了。其中減法運算只需要轉換為加法即可。需要注意的是，在減法運算中，存在兩種可能的寫法：

【寫法1】

$fra2->fenzi = -$fra2->fenzi;

【寫法2】

$fra_t = new Fraction(-$fra2->fenzi,$fra2->fenmu);

其中，第一種寫法直接改變了減數分子的值，這里對減法本身的結果不會造成影響，表面上看是成立的，但其實這種寫法產生了副作用，在計算乘法時，fra2就已經不是最初的分數值了，因此我們需要new一個新的對象，如寫法2所示，這樣就不會產生副作用改變分數2的值。

分數乘數就比較簡單了，如下所示：

/**
 * 乘法運算，分子相乘，分母相乘之后再約分
 * 
 * @param  fraction $fra1 分數相乘的乘數1
 * @param  fraction $fra2 分數相乘的乘數2
 * @return fraction $fra 分數相乘的計算結果
 */
public static function multiply($fra1,$fra2)
{
    $fra = new Fraction();

    $fenzi = $fra1->fenzi * $fra2->fenzi;
    $fenmu = $fra1->fenmu * $fra2->fenmu;

    $fra->fenzi = $fenzi;
    $fra->fenmu = $fenmu;
    $fra->reduction();
    return $fra;
}

/**
 * 除法運算，乘法運算的逆運算，只需要將參數$fra2的分子分母調換，將除法運算化為乘法運算
 * 
 * @param  fraction $fra1 分數相除的被除數
 * @param  fraction $fra2 分數相除的除數
 * @return fraction       分數相除的計算結果
 */
public static function divide($fra1,$fra2)
{
    $fra_t = new Fraction($fra2->fenmu,$fra2->fenzi);
    $fra = self::multiply($fra1,$fra_t);
    return $fra;
}

最后，我們需要寫一個方法，把分數以a/b的形式打印出來。

public function display()
{
    printf("%d/%d
",$this->fenzi,$this->fenmu);
}

這樣我們的分數類的定義完了。

下面展示運行結果，先寫一個調用：

$fra1 = new Fraction(3,4);
$fra1->display();

$fra2 = new Fraction(12,20);
$fra2->reduction();
$fra2->display();

$fra3 = Fraction::add($fra1,$fra2);
$fra3->display();

$fra4 = Fraction::minus($fra1,$fra2);
$fra4->display();

$fra5 = Fraction::multiply($fra1,$fra2);
$fra5->display();

$fra6 = Fraction::divide($fra1,$fra2);
$fra6->display();

如上，fra1期望直接打印出3/4, fra2對12/20先約分再輸出，期望是3/5，fra3是計算fra1和fra2的加法，fra4為減法，fra5為乘法，fra6為除法。結果如下所示：