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Tensorflow快餐教程(4) - 矩陣

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摘要：最常用的就是對角陣，只有一條對角線上有值。可以通過函數來獲得逆矩陣，例我們來驗算一下與相乘是不是單位矩陣果然是。對角陣比較特殊，還滿足交換律求行列式的值以判斷是否有逆矩陣我們學習線性代數知道，如果一個矩陣要想有逆矩陣，它的行列式一定不能為。

矩陣 矩陣的初始化

矩陣因為元素更多，所以初始化函數更多了。光靠tf.linspace，tf.range之類的線性生成函數已經不夠用了。

可以通過先生成一個線性序列，然后再reshape成一個矩陣的方式來初始化。

例：

>>> g1 = tf.linspace(1.0,10.0,16)
>>> g1

>>> g2 = tf.constant(sess.run(tf.reshape(g1,[4,4])))
>>> sess.run(g2)
array([[ 1.       ,  1.6      ,  2.2      ,  2.8000002],
       [ 3.4      ,  4.       ,  4.6000004,  5.2000003],
       [ 5.8      ,  6.4      ,  7.       ,  7.6000004],
       [ 8.200001 ,  8.8      ,  9.400001 , 10.       ]], dtype=float32)
>>> g2

tf.linspace生成了(16,)的一個向量，然后被reshape成(4,4)的矩陣。
生成全0值的矩陣

tf.zeros可以生成全0的矩陣，不指定類型時，默認為float32.

>>> g7 = tf.zeros([4,5])
>>> sess.run(g7)
array([[0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]], dtype=float32)

可以指定數據類型：

>>> g8 = tf.zeros([10,10],dtype=tf.int32)
>>> sess.run(g8)
array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]], dtype=int32)
生成全1的矩陣

類似地，我們可以用tf.ones生成值全為1的矩陣。
例：

>>> g9 = tf.ones([8,2],dtype=tf.int64)
>>> sess.run(g9)
array([[1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1]])
將矩陣全部設成一個值

tf.ones和tf.zeros其實是特例，tf.fill才是更通用的功能：

>>> g10 = tf.fill([5,5],10.1)
>>> sess.run(g10)
array([[10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1]], dtype=float32)
生成對角矩陣

矩陣一個特點是經常是只有稀疏的值。最常用的就是對角陣，只有一條對角線上有值。
例：

>>> g11 =tf.diag([1,1,2,2])
>>> sess.run(g11)
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 1, 0, 0],
       [0, 0, 2, 0],
       [0, 0, 0, 2]], dtype=int32)

除了生成對角陣，我們還可以從一個矩陣中將對角線值獲取成一個向量：

>>> g12 = tf.diag_part(g11)
>>> sess.run(g12)
array([1, 1, 2, 2], dtype=int32)
>>> g12
隨機生成初始化值

除了全0，全1，全確定值和對角線值，還有一種非常常用的方式就是生成隨機值。
我們可以按正態分布來生成初始值：

>>> g13 = tf.random_normal([5,5])
>>> sess.run(g13)
array([[ 0.21010283,  1.083522  , -2.1688387 , -1.2340024 ,  0.9230036 ],
       [ 0.43592915, -0.7187195 , -1.3310403 ,  0.27570882,  1.3831469 ],
       [-0.42430717,  2.8005996 ,  1.1899991 ,  0.6987934 ,  1.6732428 ],
       [ 0.4975314 , -1.259698  ,  1.2508341 , -1.2581793 , -0.8776101 ],
       [ 0.49039882,  0.8129552 ,  1.2836359 , -0.3732389 , -2.034603  ]],
      dtype=float32)

可以指定平均值和標準差，默認均值為0，標準差為1。默認的類型為float32，反正不支持整數。

例：

>>> g14 = tf.random_normal([3,8], mean=1.0, stddev=2.0, dtype=tf.float32)
>>> sess.run(g14)
array([[ 3.7580974 , -2.7150466 , -2.107638  ,  1.7130036 , -0.8702172 ,
        -1.0325654 ,  3.1230848 , -0.82150674],
       [-1.3860679 ,  0.03262603, -0.63146615, -0.71946084,  1.182011  ,
         0.34882843,  2.3536258 , -1.0503623 ],
       [-3.6498313 ,  0.4458651 ,  2.9859743 ,  2.153699  ,  3.8967788 ,
         1.895072  ,  3.5918627 ,  1.9855003 ]], dtype=float32)
矩陣的轉置

將矩陣中的元素基于對角線對稱交換，叫做矩陣的轉置transpose。

例：

>>> g3 = tf.transpose(g2)
>>> g3

>>> sess.run(g3)
array([[ 1.       ,  3.4      ,  5.8      ,  8.200001 ],
       [ 1.6      ,  4.       ,  6.4      ,  8.8      ],
       [ 2.2      ,  4.6000004,  7.       ,  9.400001 ],
       [ 2.8000002,  5.2000003,  7.6000004, 10.       ]], dtype=float32)

1,4,7,10是對角線，在轉置時保持不變。

在非方陣的情況下，轉置后對角線仍然保持不變。
我們看一個2*3矩陣的例子：

>>> g4 = tf.linspace(1.0,10.0,6)
>>> g5 = tf.reshape(g4,[2,3])
>>> sess.run(g5)
array([[ 1.       ,  2.8      ,  4.6      ],
       [ 6.3999996,  8.2      , 10.       ]], dtype=float32)

對角線是1和8.2.
我們轉置一下：

 >>> g6 = tf.constant(sess.run(tf.transpose(g5)))
    >>> sess.run(g6)
    array([[ 1.       ,  6.3999996],
           [ 2.8      ,  8.2      ],
           [ 4.6      , 10.       ]], dtype=float32)

雖然從一個寬矩陣變成了高矩陣，但是對角線仍然是1和8.2.

矩陣的數學運算 加減運算

兩個行列相同的矩陣可以進行加減運算。
例：

>>> h01 = tf.random_normal([4,4])
>>> h02 = tf.fill([4,4],1.0)
>>> h03 = h01 + h02
>>> sess.run(h03)
array([[ 1.959749  ,  1.2833667 ,  0.12137735,  1.0297428 ],
       [ 1.3971953 , -0.0582509 ,  1.1770982 ,  2.154177  ],
       [-1.1314301 ,  1.6063341 , -1.2442939 ,  1.2752731 ],
       [ 1.3077021 ,  0.42679614,  2.9681108 ,  1.6179581 ]],
      dtype=float32)

廣播運算
例：

>>> h04 = h02 + 2.0
>>> sess.run(h04)
array([[3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.]], dtype=float32)

矩陣乘積
"*"運算在矩陣乘法中，跟上節所講一樣，還是Hadamard積，就是對應元素的積，例：

>>> h05 = tf.reshape(tf.linspace(1.0,10.0,16),[4,4])
>>> sess.run(h05)
array([[ 1.       ,  1.6      ,  2.2      ,  2.8000002],
       [ 3.4      ,  4.       ,  4.6000004,  5.2000003],
       [ 5.8      ,  6.4      ,  7.       ,  7.6000004],
       [ 8.200001 ,  8.8      ,  9.400001 , 10.       ]], dtype=float32)
>>> h06 = tf.reshape(tf.linspace(1.0,16.0,16),[4,4])
>>> sess.run(h06)
array([[ 1.,  2.,  3.,  4.],
       [ 5.,  6.,  7.,  8.],
       [ 9., 10., 11., 12.],
       [13., 14., 15., 16.]], dtype=float32)
>>> sess.run(h05 * h06)
array([[  1.       ,   3.2      ,   6.6000004,  11.200001 ],
       [ 17.       ,  24.       ,  32.200005 ,  41.600002 ],
       [ 52.2      ,  64.       ,  77.       ,  91.200005 ],
       [106.600006 , 123.200005 , 141.00002  , 160.       ]],
      dtype=float32)

我們也可以用matmul函數，或者"@"運算符計算矩陣相乘的結果：

>>> h05 @ h06

>>> sess.run(h05 @ h06)
array([[ 65.200005,  72.8     ,  80.40001 ,  88.      ],
       [132.40001 , 149.6     , 166.80002 , 184.      ],
       [199.6     , 226.40002 , 253.20001 , 280.      ],
       [266.8     , 303.2     , 339.60004 , 376.      ]], dtype=float32)

"@"是高版本Python中支持的操作，在tensorflow中重載它的函數為matmul。

逆矩陣 Inverse Matrices
定義I為單位對角矩陣，如果BA=I，那么我就說B是A的逆矩陣。可以通過matrix_inverse函數來獲得逆矩陣，例：

>>> i01 = tf.diag([1.0,2.0,3.0,4.0])
>>> sess.run(i01)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 2., 0., 0.],
       [0., 0., 3., 0.],
       [0., 0., 0., 4.]], dtype=float32)
>>> i01_rev = tf.matrix_inverse(i01)
>>> sess.run(i01_rev)
array([[1.        , 0.        , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.5       , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.33333334, 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.        , 0.25      ]], dtype=float32)

我們來驗算一下i01_rev與i01相乘是不是單位矩陣：

>>> sess.run( i01_rev @ i01)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]], dtype=float32)

果然是。

對角陣比較特殊，還滿足交換律：

>>> sess.run( i01 @ i01_rev)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]], dtype=float32)

求行列式的值以判斷是否有逆矩陣
我們學習線性代數知道，如果一個矩陣要想有逆矩陣，它的行列式一定不能為0。

在Matlab和mathematica兩大著名數學軟件中，求行列式的函數名字很簡單，就是det。
Tensorflow因為是個庫，所以名字比較長，叫tf.matrix_determinant.

我們來看一個例子：

>>> A1 = [[1,1,1],[1,-1,-1],[5,-2,2]]
>>> A = tf.constant(A1, tf.float32)
>>> A

>>> sess.run(A)
array([[ 1.,  1.,  1.],
       [ 1., -1., -1.],
       [ 5., -2.,  2.]], dtype=float32)
>>> d = tf.matrix_determinant(A)
>>> sess.run(d)
-8.0

利用逆矩陣求解線性方程組
假設有下列方程組，求解：

x+y+z =1,
x-y-z = 2,
5x-2y+2z = 3

這個題中的系數矩陣就是我們剛才例子中的矩陣，我們已經求得行列式值為-8不等于0，所以我們可以通過用系數矩陣的逆矩陣乘以常數向量的方式求解。

>>> b = tf.constant([[1],[2],[3]],dtype=tf.float32)
>>> b

>>> sess.run(b)
array([[1.],
       [2.],
       [3.]], dtype=float32)
>>> sess.run(tf.matmul(tf.matrix_inverse(A),b))
array([[ 1.5000001],
       [ 0.875    ],
       [-1.3750001]], dtype=float32)

最后求得，x=1.5, y=0.875, z = -1.375.

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