動態規劃入門（以爬樓梯為例）

cyixlq 發布于2019-08-23 10:52 / 944人閱讀

摘要：動態規劃算法通?；谝粋€遞推公式及一個或多個初始狀態。動態規劃有三個核心元素最優子結構邊界狀態轉移方程我們來看一到題目題目有一座高度是級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上級或者級臺階。

概念

動態規劃(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。
動態規劃算法通常基于一個遞推公式及一個或多個初始狀態。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。

基本思想

要解決一個給定的問題，我們需要解決其不同部分（即解決子問題），再合并子問題的解以得出原問題的解。
通常許多子問題非常相似，為此動態規劃法試圖只解決每個子問題一次，從而減少計算量。
一旦某個給定子問題的解已經算出，則將其記憶化存儲，以便下次需要同一個子問題解之時直接查表。
這種做法在重復子問題的數目關于輸入的規模呈指數增長時特別有用。
動態規劃有三個核心元素：
1.最優子結構
2.邊界
3.狀態轉移方程

我們來看一到題目

題目

有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。求出一共有多少種走法。

比如，每次走1級臺階，一共走10步，這是其中一種走法。
再比如，每次走2級臺階，一共走5步，這是另一種走法。

但是這樣一個個算太麻煩了，我們可以只去思考最后一步怎么走，如下圖

這樣走到第十個樓梯的走法 = 走到第八個樓梯 + 走到第九個樓梯
我們用f(n)來表示走到第n個樓梯的走法，所以就有了f(10) = f(9) + f(8)
然后f(9) = f(8) + f(7), f(8) = f(7) + f(6)......

這樣我們就得出來一個遞歸式：
f(n) = f(n-1) + f(n-2);
還有兩個初始狀態：
f(1) = 1;
f(2) = 2;

這樣就得出了第一種解法

方法一：遞歸求解

function getWays(n) {

    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    return getWays(n-1) + getWays(n-2); 
}

這種方法的時間復雜度為O(2^n)

可以看到這是一顆二叉樹，數的節點個數就是我們遞歸方程需要計算的次數，
數的高度為N，節點個數近似于2^n
所以時間復雜度近似于O(2^n)

但是這種方法能不能優化呢？
我們會發現有些值被重復計算，如下圖

相同顏色代表著重復的部分，那么我們可不可以把這些重復計算的值記錄下來呢？
這樣的優化就有了第二種方法

方法二：備忘錄算法

const map = new Map(); 
function getWays(n) {

    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    if (map.has(n)) {
        return map.get(n);
    }
    const value = getWays(n-1) + getWays(n-2);
    map.set(n, value);
    return value; 
}

因為map里最終會存放n-2個鍵值對，所以空間復雜度為O(n),時間復雜度也為O(n)

繼續想一想這就是最優的解決方案了嗎？

我們回到一開始的思路，我們是假定前面的樓梯已經走完，只考慮最后一步，所以才得出來f(n) = f(n-1) + f(n-2)的遞歸式，這是一個置頂向下求解的式子
一般來說，按照正常的思路應該是一步一步往上走，應該是自底向上去求解才比較符合正常人的思維，我們來看看行不行的通

這是一開始走的一個和兩個樓梯的走法數,即之前說的初始狀態

這是進行了一次迭代得出了3個樓梯的走法，f(3)只依賴于f(1) 和 f(2)

繼續看下一步

這里又進行了一次迭代得出了4個樓梯的走法，f(4)只依賴于f(2) 和 f(3)

我們發現每次迭代只需要前兩次迭代的數據，不用像備忘錄一樣去保存所有子狀態的數據

方法三：動態規劃求解

function getWays(n) {

    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    // a保存倒數第二個子狀態數據，b保存倒數第一個子狀態數據， temp 保存當前狀態的數據
    let a = 1, b = 2;
    let temp = a + b;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        temp = a + b;
        a = b;
        b = temp; 
    }
    return temp; 
}

這是我們可以再看看當前的時間復雜度和空間復雜度
當前時間復雜度仍為O(n)，但空間復雜度降為O(1)
這就是理想的結果

總結

這只是動態規劃里最簡單的題目之一，因為它只有一個變化維度
當變化維度變成兩個、三個甚至更多時，會更加復雜，背包問題就是比較典型的多維度問題，有興趣的可以去網上看看《背包九講》

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