摘要：本文將討論兩種可用于解決貝葉斯推理問題的主要方法基于采樣的馬爾可夫鏈蒙特卡羅，簡稱方法和基于近似的變分推理，簡稱方法。而貝葉斯推理則是從貝葉斯的角度產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)推斷的過程。貝葉斯推理問題還可能會(huì)產(chǎn)生一些其他的計(jì)算困難。

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貝葉斯推理（Bayesian inference）是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要問題，也是許多機(jī)器學(xué)習(xí)方法中經(jīng)常遇到的問題。例如，用于分類的高斯混合模型或用于主題建模的潛在狄利克雷分配（Latent Dirichlet Allocation，簡稱LDA）模型等概率圖模型都需要在擬合數(shù)據(jù)時(shí)解決這一問題。

同時(shí)，由于模型設(shè)置（假設(shè)、維度……）不同，貝葉斯推理問題有時(shí)會(huì)很難解決。在解決大型問題時(shí)，精確的方案往往需要繁重的計(jì)算，要完成這些難以處理的計(jì)算，必須采用一些近似技術(shù)，并構(gòu)建快速且有可擴(kuò)展性的系統(tǒng)。

本文將討論兩種可用于解決貝葉斯推理問題的主要方法：基于采樣的馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov Chain Monte Carlo，簡稱MCMC)方法和基于近似的變分推理(Variational Inference，簡稱VI)方法。

本文第一部分將討論貝葉斯推理問題，并介紹幾個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用的經(jīng)典案例，當(dāng)然，這些案例中會(huì)出現(xiàn)貝葉斯推理問題。第二部分將全面介紹用于解決該問題的MCMC技術(shù)，并詳細(xì)介紹其中的兩種算法：Metropolis-Hasting算法和吉布斯采樣（Gibbs Sampling）算法。最后，第三部分將介紹變分推斷，并了解如何通過優(yōu)化參數(shù)化數(shù)族分布得到近似解。

注意，以a(∞)為標(biāo)記的小節(jié)數(shù)學(xué)專業(yè)性非常強(qiáng)，跳過也不會(huì)影響對(duì)本文的整體理解。還要注意，本文中的p(.)可以用來表示概率、概率密度或概率分布，具體含義取決于上下文。

貝葉斯推理問題

這一部分提出了貝葉斯推理問題，討論了一些計(jì)算困難，并給出了LDA算法的例子。LDA算法是一種具體的主題建模機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，能夠反映貝葉斯推理問題。

統(tǒng)計(jì)推斷旨在根據(jù)可觀察到的事物來了解不可觀察到的事物。即，統(tǒng)計(jì)推斷是基于一個(gè)總體或一些樣本中的某些觀察變量（通常是影響）得出結(jié)論的過程，例如關(guān)于總體或樣本中某些潛在變量（通常是原因）的準(zhǔn)時(shí)估計(jì)、置信區(qū)間或區(qū)間估計(jì)等。

而貝葉斯推理則是從貝葉斯的角度產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)推斷的過程。簡而言之，貝葉斯范式是一種統(tǒng)計(jì)/概率范式，在這種范式中，每次記錄新的觀測數(shù)據(jù)時(shí)就會(huì)更新由概率分布建模的先驗(yàn)知識(shí)，觀測數(shù)據(jù)的不確定性則由另一個(gè)概率分布建模。支配貝葉斯范式的整個(gè)思想嵌入在所謂的貝葉斯定理中，該定理表達(dá)了更新知識(shí)（“后驗(yàn)”）、已知知識(shí)（“先驗(yàn)”）以及來自觀察的知識(shí)（“可能性”）之間的關(guān)系。

一個(gè)經(jīng)典的例子是用貝葉斯推理進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。假設(shè)一個(gè)模型中數(shù)據(jù)x是根據(jù)未知參數(shù)θ的概率分布生成的，并且有關(guān)于參數(shù)θ的先驗(yàn)知識(shí)，可以用概率分布p(θ)來表示。那么，當(dāng)觀察到數(shù)據(jù)x時(shí)，我們可以使用貝葉斯定理更新關(guān)于該參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)，如下所示：

貝葉斯定理應(yīng)用于給定觀測數(shù)據(jù)的參數(shù)推斷的說明。

計(jì)算困難

根據(jù)貝葉斯定理，后驗(yàn)分布的計(jì)算需要三個(gè)條件：先驗(yàn)分布、可能性和證據(jù)。前兩個(gè)條件很容易理解，因?yàn)樗鼈兪羌僭O(shè)模型的一部分（在許多情況下，先驗(yàn)分布和可能性是顯而易見的）。然而，第三個(gè)條件，即歸一化因子，需要如下計(jì)算：

雖然在低維中，這個(gè)積分可以較容易地計(jì)算出來，但在高維中它會(huì)變得難以處理。在上述案例中，對(duì)后驗(yàn)分布進(jìn)行精確計(jì)算是不可行的，必須使用一些近似技術(shù)（例如平均計(jì)算）來獲得后驗(yàn)分布。

貝葉斯推理問題還可能會(huì)產(chǎn)生一些其他的計(jì)算困難。例如，當(dāng)某些變量是離散的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生組合學(xué)問題。馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo，簡稱MCMC）和變分推理（Variational Inference，簡稱VI）是最常用于解決這些問題的兩種方法。下文將描述這兩種方法，尤其關(guān)注“歸一化因子問題”，但是應(yīng)該記住，這些方法也可用于與貝葉斯推理相關(guān)的其他計(jì)算困難。

為了讓接下來的章節(jié)更易于理解，可以觀察到，由于x應(yīng)該是給定的，因此可以作為參數(shù)，那么，θ的概率分布則被定義為歸一化因子

在描述MCMC和VI兩個(gè)部分之前，先來看一個(gè)具體例子，了解在機(jī)器學(xué)習(xí)LDA中存在的貝葉斯推理問題。

舉例

貝葉斯推理問題通常出現(xiàn)在需要假設(shè)概率圖模型或根據(jù)給定觀測值得出模型潛變量的機(jī)器學(xué)習(xí)方法中。在主題建模中，潛在狄利克雷分配(LDA)定義了一個(gè)用于描述語料庫文本的模型。因此，給定大小為V的完整語料庫詞匯表和給定數(shù)量為T的主題，模型假設(shè)：

· 對(duì)于每個(gè)主題，在詞匯表上都存在一個(gè)“主題詞”的概率分布（使用Dirichlet先驗(yàn)假設(shè)）

· 對(duì)于每個(gè)文檔，在主題上都存在一個(gè)“文檔主題”的概率分布（使用另一個(gè)Dirichlet先驗(yàn)假設(shè)）

· 對(duì)文檔中的每個(gè)單詞進(jìn)行采樣。首先，從文檔的“文檔 - 主題”分布中對(duì)主題進(jìn)行采樣；其次，從附加到采樣話題的“主題 - 單詞”分布中采樣一個(gè)單詞。

該方法的名稱來源于模型中假設(shè)的Dirichlet先驗(yàn)，其目的是推斷觀察到的語料庫中的潛在主題以及每個(gè)文檔的主題分解。即使不深入研究LDA方法的細(xì)節(jié)，也可以粗略地用w來表示語料庫中單詞的向量，用z來表示與這些單詞相關(guān)的主題向量，用貝葉斯方法根據(jù)觀測到的w推斷出z：

由于維度過高，這里無法推斷出歸一化因子，同時(shí)，還存在組合問題（因?yàn)橐恍┳兞渴请x散的），需要使用MCMC方法或VI方法來獲得近似解。對(duì)主題建模及其特定的貝葉斯推理問題感興趣的讀者可以看看下面這篇關(guān)于LDA的參考文獻(xiàn)。

傳送門：http://www.jmlr.org/papers/vo...

LDA方法的說明。

馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法

上文提到，貝葉斯推理問題中的主要困難來自于歸一化因子。本節(jié)將描述MCMC采樣方法，為歸一化因子以及與貝葉斯推理相關(guān)的其他計(jì)算困難提供解決方案。

采樣方法

采樣方法如下，首先假設(shè)有一種方法（MCMC）可以從由一個(gè)因子定義的概率分布中抽取樣本。然后，可以從這個(gè)分布中得到樣本（僅使用未標(biāo)準(zhǔn)化的部分定義），并使用這些樣本計(jì)算各種準(zhǔn)時(shí)統(tǒng)計(jì)量，如均值和方差，甚至通過核密度估計(jì)來求得近似分布，從而避免處理涉及后驗(yàn)的棘手計(jì)算。

與下一節(jié)所述的VI方法相反，對(duì)所研究的概率分布（貝葉斯推理中的后驗(yàn)分布）MCMC方法無需假設(shè)模型。因此，該方法具有低偏差但高方差，這意味著大多數(shù)情況下，獲得的結(jié)果比從VI方法中得到的結(jié)果花費(fèi)更多時(shí)間精力，但也更準(zhǔn)確。

總結(jié)本小節(jié)，即上述的采樣過程并不局限于后驗(yàn)分布的貝葉斯推理，它還可以普遍用于所有由歸一化因子定義的概率分布。

采樣方法（MCMC）的說明。

MCMC方法的概念

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法旨在從給定的概率分布中生成樣本。該方法名稱中的“蒙特卡羅”部分是出于取樣目的，而“馬爾可夫鏈”部分來自獲取這些樣本的方式。

為了得到樣本，要建立一個(gè)馬爾可夫鏈，從其平穩(wěn)分布中獲得樣本。然后，可以從馬爾可夫鏈中模擬隨機(jī)的狀態(tài)序列，該序列足夠長，能夠（幾乎）達(dá)到穩(wěn)態(tài)，再保留生成的一些狀態(tài)作為樣本。

在隨機(jī)變量生成技術(shù)中，MCMC是一種相當(dāng)高級(jí)的方法，可以從一個(gè)非常困難的概率分布中獲得樣本，這個(gè)概率分布可能僅由一個(gè)乘法常數(shù)定義。更出乎意料的是，可以用MCMC從一個(gè)未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的分布中獲得樣本，這來自于定義馬爾可夫鏈的特定方式，馬爾可夫鏈對(duì)這些歸一化因子并不敏感。

MCMC方法旨在從一個(gè)困難的概率分布中生成樣本，該概率分布可以僅由一個(gè)因子定義而成。

馬爾可夫鏈的定義

整個(gè)MCMC方法是基于馬爾可夫鏈的建立，并從其平穩(wěn)分布中取樣。為此，Metropolis-Hasting和吉布斯采樣算法都使用了馬氏鏈的一個(gè)特殊性質(zhì)：可逆性。

狀態(tài)空間為E的馬爾可夫鏈，轉(zhuǎn)移概率由下式表示

如果存在概率分布γ，上式則是可逆的

對(duì)于這樣的馬氏鏈，可以很容易地證明有

然后，γ是一個(gè)平穩(wěn)分布（對(duì)不可約馬氏鏈來說，也是唯一一個(gè)平穩(wěn)分布）。

現(xiàn)在假設(shè)想要采樣的概率分布π僅由一個(gè)因子定義

（其中C是未知的乘法常數(shù)）?？梢宰⒁獾揭韵碌仁匠闪?/p>

接著，是轉(zhuǎn)移概率為k(.,.)的馬爾可夫鏈被定義為驗(yàn)證過去的等式，如預(yù)期那樣將π定義為平穩(wěn)分布。因此，我們可以定義一個(gè)馬爾可夫鏈的平穩(wěn)概率分布為π，該分布不能精確計(jì)算。

Gibbs采樣轉(zhuǎn)換（∞）

假設(shè)待定義的Markov鏈?zhǔn)荄維的，則

吉布斯采樣（Gibbs Sampling）假設(shè)即使在無法得知聯(lián)合概率的情況下，也可以基于其他維度計(jì)算得出某一維度的條件分布?；诖思僭O(shè)，Gibbs采樣轉(zhuǎn)換可定義為，下一階段狀態(tài)，如在n+1次迭代的狀態(tài)，可由如下步驟得出。

首先，從D維X_n中隨機(jī)選擇一個(gè)整數(shù)d。然后，根據(jù)相應(yīng)的條件概率，通過采樣賦予維度d一個(gè)新數(shù)值。這一過程中，其他維度保持如下狀態(tài)不變：

其中

是基于其他維度得出的第d個(gè)維度的條件分布。

通常，設(shè)

則轉(zhuǎn)換概率可以表示為

并且，在唯一有意義的情況下，局部平衡按預(yù)期得到了驗(yàn)證

Metropolis-Hasting轉(zhuǎn)換（∞）

有時(shí)候，計(jì)算Gibbs采樣中的條件分布也是很復(fù)雜的。在這種情況下，可以采用Metropolis-Hasting算法。運(yùn)用該算法，需要先定義一個(gè)側(cè)向的轉(zhuǎn)換概率h(.,.)，該概率將被用于建議轉(zhuǎn)換。下一階段（n+1次迭代）Markov鏈的狀態(tài)可由如下步驟得出。首先，從h中生成“建議轉(zhuǎn)換”x，并計(jì)算一個(gè)關(guān)聯(lián)概率r用于接受x：

可以得到如下有效轉(zhuǎn)換

通常，轉(zhuǎn)換概率可以表示為

同時(shí)，局部平衡按預(yù)期得到了驗(yàn)證

采樣過程

定義Markov鏈后，模擬一串隨機(jī)狀態(tài)序列（隨機(jī)初始化數(shù)值），并對(duì)其中一些狀態(tài)進(jìn)行設(shè)定，如設(shè)置為服從目標(biāo)分布的獨(dú)立樣本。

第一步，為了讓樣本（近似）服從目標(biāo)分布，僅考慮與初始設(shè)定序列狀態(tài)相差大的狀態(tài)，使Markov鏈近似達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)（理論上來說，漸進(jìn)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)）。這樣一來，初始設(shè)定狀態(tài)就沒樣本那么有用了。這一達(dá)到平穩(wěn)的階段被稱為老化時(shí)間（burn-in time）。需要注意的是，實(shí)際操作中很難知道該階段會(huì)持續(xù)多長時(shí)間。

第二步，為了獲得（近似）獨(dú)立樣本，不能把所有的序列連續(xù)狀態(tài)都放在老化時(shí)間之后。實(shí)際上，Markov鏈的定義中就已經(jīng)表明了兩個(gè)連續(xù)狀態(tài)之間有很強(qiáng)的聯(lián)系。因此，需要把狀態(tài)相差很遠(yuǎn)的樣本默認(rèn)為近似獨(dú)立。在實(shí)際操作中，可以通過分析自相關(guān)函數(shù)來預(yù)測兩個(gè)近似獨(dú)立狀態(tài)間所需要的滯后（僅限于數(shù)值數(shù)據(jù)）。

所以，為了得到服從目標(biāo)分布的獨(dú)立樣本，需要從位于老化時(shí)間B之后的、彼此間滯后為L的初始序列中分離出狀態(tài)。設(shè)Markov鏈連續(xù)狀態(tài)為

則樣本狀態(tài)為

MCMC采樣需要考慮老化時(shí)間和滯后。

變分推斷（VI）

另一個(gè)可用于解決復(fù)雜推斷計(jì)算問題的方法是變分推斷（Variational Inference，簡稱VI）。VI旨在找到參數(shù)化數(shù)族的最優(yōu)近似分布。為此，需要遵循一個(gè)優(yōu)化過程（優(yōu)化數(shù)族里的參數(shù)），該過程需要僅由一個(gè)因子定義的目標(biāo)分布。

逼近法

給定一個(gè)數(shù)族，VI旨在搜尋該數(shù)族中某些復(fù)雜目標(biāo)概率分布的最優(yōu)近似解。具體來說，VI定義一個(gè)參數(shù)化數(shù)族分布，并通過優(yōu)化參數(shù)得到具有確定誤差測量的最接近目標(biāo)的元素。

將歸一化因子C的概率分布π定義為：

應(yīng)用數(shù)學(xué)術(shù)語，設(shè)參數(shù)化數(shù)族分布為

對(duì)于兩個(gè)分布p和q的誤差測量E(p,q)，搜尋如下最優(yōu)參數(shù)

如果想要在未明確標(biāo)準(zhǔn)化π的情況下解決該問題，那么不需要復(fù)雜的計(jì)算，f_